ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 342 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:
а) 2v3 и v8;
б) v45 и 3v5;
в) 2v6 и 3v3;
г) 2v(1/8) и 1/2 v2;
д) 5v(3/5) и 3v(5/3);
е) 1/3 v20 и 1/2 v8.

а) $2\sqrt{3}>\sqrt{8}$

$\sqrt{4\cdot 3}>\sqrt{8}$

$\sqrt{12}>\sqrt{8}$.

б) $\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}$

$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}$.

в) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$

$\sqrt{2^2\cdot 6}<\sqrt{3^2\cdot 3}$

$\sqrt{24}<\sqrt{27}$.

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{8}}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 2}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$

$\sqrt{25\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{9\cdot \frac{5}{3}}$

$\sqrt{15}=\sqrt{15}$.

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}>\frac{1}{2}\sqrt{8}$

$\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot 20}>\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 8}$

$\sqrt{\frac{20}{9}}>\sqrt{2}$.

а) $2\sqrt{3}>\sqrt{8}$

1. Рассматриваем выражение $2\sqrt{3}$.
2. Мы можем записать $2\sqrt{3}$ как $\sqrt{4\cdot 3}$, так как $2^2=4$. Таким образом, получаем:$$2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}$$
3. Теперь применим свойство корней $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, и получаем:$$\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}$$
4. Так как $\sqrt{4}=2$, подставляем:$$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$$
5. Рассмотрим правую часть неравенства $\sqrt{8}$. Мы знаем, что $8=4\cdot 2$, и можем записать:$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$
6. Таким образом, неравенство принимает вид:$$\sqrt{12}>2\sqrt{2}$$
7. Поскольку $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, получаем:$$2\sqrt{3}>2\sqrt{2}$$Это верно, так как $\sqrt{3}>\sqrt{2}$.
8. Ответ: $2\sqrt{3}>\sqrt{8}$.

б) $\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}$

1. Рассматриваем $\sqrt{45}$. Мы можем разложить 45 на множители $3^2\cdot 5$, и получаем:$$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}$$
2. Мы знаем, что $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, и применяем это:$$\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{5}$$
3. Поскольку $\sqrt{3^2}=3$, подставляем:$$3\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}$$
4. Ответ: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

в) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$

1. Рассматриваем выражение $2\sqrt{6}$.
2. Мы можем записать $2\sqrt{6}$ как $\sqrt{2^2\cdot 6}$, так как $2^2=4$. Таким образом, получаем:$$2\sqrt{6}=\sqrt{2^2\cdot 6}$$
3. Теперь применим свойство корней $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, и получаем:$$\sqrt{2^2\cdot 6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}$$
4. Рассматриваем правую часть неравенства $3\sqrt{3}$. Мы можем записать $3\sqrt{3}$ как $\sqrt{3^2\cdot 3}$, и получаем:$$3\sqrt{3}=\sqrt{3^2\cdot 3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}$$
5. Теперь неравенство принимает вид:$$\sqrt{24}<\sqrt{27}$$
6. Это верно, так как $24<27$.
7. Ответ: $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$.

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

1. Рассматриваем выражение $2\sqrt{\frac{1}{8}}$.
2. Мы можем записать $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ как $\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{8}}$, так как $2^2=4$. Таким образом, получаем:$$2\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{4}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$
3. Рассматриваем правую часть $\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Мы можем записать $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ как $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 2}$, и получаем:$$\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 2}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot 2}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$
4. Таким образом, $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
5. Ответ: $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$

1. Рассматриваем выражение $5\sqrt{\frac{3}{5}}$.
2. Мы можем записать $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ как $\sqrt{5^2\cdot \frac{3}{5}}$, так как $5^2=25$. Таким образом, получаем:$$5\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{5^2\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{25\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{15}$$
3. Рассматриваем правую часть $3\sqrt{\frac{5}{3}}$. Мы можем записать $3\sqrt{\frac{5}{3}}$ как $\sqrt{3^2\cdot \frac{5}{3}}$, и получаем:$$3\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{3^2\cdot \frac{5}{3}}=\sqrt{9\cdot \frac{5}{3}}=\sqrt{15}$$
4. Таким образом, $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$.
5. Ответ: $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}>\frac{1}{2}\sqrt{8}$

1. Рассматриваем выражение $\frac{1}{3}\sqrt{20}$.
2. Мы можем записать $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ как $\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot 20}$, так как ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$. Таким образом, получаем:$$\frac{1}{3}\sqrt{20}=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot 20}=\sqrt{\frac{1}{9}\cdot 20}=\sqrt{\frac{20}{9}}$$
3. Рассматриваем правую часть $\frac{1}{2}\sqrt{8}$. Мы можем записать $\frac{1}{2}\sqrt{8}$ как $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 8}$, и получаем:$$\frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 8}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot 8}=\sqrt{2}$$
4. Теперь сравниваем два выражения: $\sqrt{\frac{20}{9}}$ и $\sqrt{2}$.
5. Мы знаем, что $\frac{20}{9}\approx 2.22$, и $\sqrt{2.22}>\sqrt{2}$, следовательно, неравенство верно.
6. Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{20}>\frac{1}{2}\sqrt{8}$.