ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 342 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$;
б) $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$;
в) $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$;
г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$;
д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$;
е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

а) $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$
$\sqrt{2^2 \cdot 3} > \sqrt{8}$
$\sqrt{12} > \sqrt{8}$.

б) $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{45}$.

в) $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$
$\sqrt{2^2 \cdot 6} < \sqrt{3^2 \cdot 3}$
$\sqrt{24} < \sqrt{27}$.

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\sqrt{2^2 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 2}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$
$\sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}}$
$\sqrt{15} = \sqrt{15}$.

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$
$\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 20} > \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 8}$
$\sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{2}$.

а) $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$

Мы начнем с преобразования обеих сторон. Сначала упростим выражение $2\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, следовательно:

$$2 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 1.732 \approx 3.464$$

Теперь упростим $\sqrt{8}$. Так как $8 = 4 \cdot 2$, получаем:

$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 \approx 2.828$$

Теперь сравним:

$$3.464 > 2.828$$

Ответ: $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$.

б) $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Для доказательства этого равенства, разложим $\sqrt{45}$. Мы знаем, что $45 = 9 \cdot 5$, поэтому:

$$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$

Ответ: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

в) $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$

Для этого выражения, сначала упростим обе стороны. Начнем с $2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $\sqrt{6} \approx 2.449$, следовательно:

$$2 \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 2.449 \approx 4.898$$

Теперь упростим $3\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, следовательно:

$$3 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 1.732 \approx 5.196$$

Теперь сравним:

$$4.898 < 5.196$$

Ответ: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Для того чтобы доказать это равенство, начнем с левой стороны. Упростим $2\sqrt{\frac{1}{8}}$:

$$2\sqrt{\frac{1}{8}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2.828} \approx 0.707$$

Теперь упростим правую сторону. Мы знаем, что $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ можно записать как:

$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \approx \frac{1}{2} \cdot 1.414 = 0.707$$

Таким образом, мы получаем:

$$0.707 = 0.707$$

Ответ: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$

Начнем с левой стороны. Упростим $5\sqrt{\frac{3}{5}}$:

$$5\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{15}$$

Теперь упростим правую сторону $3\sqrt{\frac{5}{3}}$:

$$3\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{15}$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sqrt{15} = \sqrt{15}$$

Ответ: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$

Начнем с левой стороны. Упростим $\frac{1}{3}\sqrt{20}$:

$$\frac{1}{3}\sqrt{20} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{4 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{5} \approx \frac{2}{3} \cdot 2.236 \approx 1.491$$

Теперь упростим правую сторону $\frac{1}{2}\sqrt{8}$:

$$\frac{1}{2}\sqrt{8} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$$

Теперь сравним:

$$1.491 > 1.414$$

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$.