ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 325 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь свойствами, доказанными в упражнении 324, упростите выражение:

а) $\sqrt{2^{22}}$;
б) $\sqrt{3^{14}}$;
в) $\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}$;
г) $\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}$.

а) $\sqrt{2^{22}}=\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$.

б) $\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$.

в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{(2^{50}{)}^2\cdot (3^{25}{)}^2}=2^{50}\cdot 3^{25}$.

г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{(5^{14}{)}^2\cdot (2^{10}{)}^2}=5^{14}\cdot 2^{10}$.

а) $\sqrt{2^{22}}=\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{2^{22}}$$

Здесь под корнем находится степень числа $2$. Используем свойство корней, которое позволяет работать с степенями:

$$\sqrt{a^b}=a^{\frac{b}{2}}$$

Таким образом, можем переписать $\sqrt{2^{22}}$ как:

$$\sqrt{2^{22}}=2^{\frac{22}{2}}=2^{11}$$

Проверка:
Мы можем также представить $2^{22}$ как квадрат числа $2^{11}$:

$$2^{22}=(2^{11}{)}^2$$

Теперь извлекаем квадрат из $(2^{11}{)}^2$:

$$\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$$

Ответ:

$$\sqrt{2^{22}}=2^{11}$$

б) $\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$

Исходное выражение:

$$\sqrt{3^{14}}$$

Это выражение можно представить как квадрат числа $3^7$, так как $3^{14}=(3^7{)}^2$. Подставляем это в исходное выражение:

$$\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}$$

Применение свойства корней:
Извлекаем квадрат из $(3^7{)}^2$:

$$\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$$

Ответ:

$$\sqrt{3^{14}}=3^7$$

в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{(2^{50}{)}^2\cdot (3^{25}{)}^2}=2^{50}\cdot 3^{25}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}$$

Разделим это на два корня:

$$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{2^{100}}\cdot \sqrt{3^{50}}$$

Упрощение каждого из корней:

$\sqrt{2^{100}}=2^{\frac{100}{2}}=2^{50}$

$\sqrt{3^{50}}=3^{\frac{50}{2}}=3^{25}$

Умножение:
Теперь перемножим:

$$2^{50}\cdot 3^{25}$$

Ответ:

$$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=2^{50}\cdot 3^{25}$$

г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{(5^{14}{)}^2\cdot (2^{10}{)}^2}=5^{14}\cdot 2^{10}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}$$

Разделим это на два корня:

$$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{5^{28}}\cdot \sqrt{2^{20}}$$

Упрощение каждого из корней:

$\sqrt{5^{28}}=5^{\frac{28}{2}}=5^{14}$

$\sqrt{2^{20}}=2^{\frac{20}{2}}=2^{10}$

Умножение:
Перемножим:

$$5^{14}\cdot 2^{10}$$

Ответ:

$$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=5^{14}\cdot 2^{10}$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt{2^{22}}=2^{11}$

б) $\sqrt{3^{14}}=3^7$

в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=2^{50}\cdot 3^{25}$

г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=5^{14}\cdot 2^{10}$