ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 325 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 324, упростите выражение:
а) v(2^22 );
б) v(3^14 );
в) v(2^100•3^50 );
г) v(5^28•2^20 ).

а) $\sqrt{2^{22}}=\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$.

б) $\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$.

в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{(2^{50}{)}^2\cdot (3^{25}{)}^2}=2^{50}\cdot 3^{25}$.

г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{(5^{14}{)}^2\cdot (2^{10}{)}^2}=5^{14}\cdot 2^{10}$.

• а) $\sqrt{2^{22}}=\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$

  Исходное выражение:

  $$\sqrt{2^{22}}$$

  Здесь под корнем находится степень числа $2$. Используем свойство корней, которое позволяет работать с степенями:

  $$\sqrt{a^b}=a^{\frac{b}{2}}$$

  Таким образом, можем переписать $\sqrt{2^{22}}$ как:

  $$\sqrt{2^{22}}=2^{\frac{22}{2}}=2^{11}$$

  Проверка:
  Мы можем также представить $2^{22}$ как квадрат числа $2^{11}$:

  $$2^{22}=(2^{11}{)}^2$$

  Теперь извлекаем квадрат из $(2^{11}{)}^2$:

  $$\sqrt{(2^{11}{)}^2}=2^{11}$$

  Ответ:

  $$\sqrt{2^{22}}=2^{11}$$

  б) $\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$

  Исходное выражение:

  $$\sqrt{3^{14}}$$

  Это выражение можно представить как квадрат числа $3^7$, так как $3^{14}=(3^7{)}^2$. Подставляем это в исходное выражение:

  $$\sqrt{3^{14}}=\sqrt{(3^7{)}^2}$$

  Применение свойства корней:
  Извлекаем квадрат из $(3^7{)}^2$:

  $$\sqrt{(3^7{)}^2}=3^7$$

  Ответ:

  $$\sqrt{3^{14}}=3^7$$

  в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{(2^{50}{)}^2\cdot (3^{25}{)}^2}=2^{50}\cdot 3^{25}$

  Исходное выражение:

  $$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}$$

  Разделим это на два корня:

  $$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=\sqrt{2^{100}}\cdot \sqrt{3^{50}}$$

  Упрощение каждого из корней:

  $\sqrt{2^{100}}=2^{\frac{100}{2}}=2^{50}$

  $\sqrt{3^{50}}=3^{\frac{50}{2}}=3^{25}$

  Умножение:
  Теперь перемножим:

  $$2^{50}\cdot 3^{25}$$

  Ответ:

  $$\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=2^{50}\cdot 3^{25}$$

  г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{(5^{14}{)}^2\cdot (2^{10}{)}^2}=5^{14}\cdot 2^{10}$

  Исходное выражение:

  $$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}$$

  Разделим это на два корня:

  $$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=\sqrt{5^{28}}\cdot \sqrt{2^{20}}$$

  Упрощение каждого из корней:

  $\sqrt{5^{28}}=5^{\frac{28}{2}}=5^{14}$

  $\sqrt{2^{20}}=2^{\frac{20}{2}}=2^{10}$

  Умножение:
  Перемножим:

  $$5^{14}\cdot 2^{10}$$

  Ответ:

  $$\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=5^{14}\cdot 2^{10}$$

  Итоговые ответы:

  • а) $\sqrt{2^{22}}=2^{11}$
  • б) $\sqrt{3^{14}}=3^7$
  • в) $\sqrt{2^{100}\cdot 3^{50}}=2^{50}\cdot 3^{25}$
  • г) $\sqrt{5^{28}\cdot 2^{20}}=5^{14}\cdot 2^{10}$