ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 324 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите:

а) Докажите, что $\sqrt{5^8} = 5^4$; $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$.

б) Докажите свойство: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, где $a \geqslant 0$.

а) $\sqrt{5^8}=\sqrt{(5^4{)}^2}=5^4$; $\sqrt{3^{20}}=\sqrt{(3^{10}{)}^2}=3^{10}$.

б) $\sqrt{a^{2n}}=a^n$, где $a\ge 0$;
$\sqrt{a^{2n}}=\sqrt{(a^n{)}^2}=a^n$.

а) $\sqrt{5^8}=\sqrt{(5^4{)}^2}=5^4$; $\sqrt{3^{20}}=\sqrt{(3^{10}{)}^2}=3^{10}$

Исходное выражение для первого примера:

$$\sqrt{5^8}$$

Мы видим, что под корнем стоит степень числа 5. Используем свойство корней $\sqrt{a^2}=a$, но так как у нас степень 8, можем представить $5^8$ как квадрат числа $5^4$:

$$5^8=(5^4{)}^2$$

Таким образом, корень из $5^8$ можно записать как:

$$\sqrt{5^8}=\sqrt{(5^4{)}^2}$$

По свойству корня $\sqrt{a^2}=a$, получаем:

$$\sqrt{(5^4{)}^2}=5^4$$

Решение для второго примера:

$$\sqrt{3^{20}}$$

Аналогично предыдущему примеру, разложим степень 20 как квадрат числа $3^{10}$:

$$3^{20}=(3^{10}{)}^2$$

Таким образом, корень из $3^{20}$ можно записать как:

$$\sqrt{3^{20}}=\sqrt{(3^{10}{)}^2}$$

По свойству корня $\sqrt{a^2}=a$, получаем:

$$\sqrt{(3^{10}{)}^2}=3^{10}$$

Ответ:

$$\sqrt{5^8}=5^4,\sqrt{3^{20}}=3^{10}$$

б) $\sqrt{a^{2n}}=a^n$, где $a\ge 0$;

$\sqrt{a^{2n}}=\sqrt{(a^n{)}^2}=a^n$

Исходное выражение:

$$\sqrt{a^{2n}}$$

Рассмотрим корень из $a^{2n}$. Мы можем переписать это выражение как:

$$\sqrt{a^{2n}}=\sqrt{(a^n{)}^2}$$

Здесь мы представили $a^{2n}$ как квадрат $a^n$.

Применение свойства корней:
Используем свойство $\sqrt{(a^n{)}^2}=a^n$, так как для любых $a\ge 0$ выполняется $\sqrt{a^2}=a$.

Упрощение:
Получаем:

$$\sqrt{(a^n{)}^2}=a^n$$

Ответ:

$$\sqrt{a^{2n}}=a^n,\text{где}a\ge 0$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt{5^8}=5^4$; $\sqrt{3^{20}}=3^{10}$

б) $\sqrt{a^{2n}}=a^n$, где $a\ge 0$;
$\sqrt{a^{2n}}=\sqrt{(a^n{)}^2}=a^n$