ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 313 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $a$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$;

б) $a^2$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$.

а)если $0<a<1$:
$a<\sqrt{a}$.

если $a>1$:
$a>\sqrt{a}$.

б)если $0<a<1$:
$a^2<\sqrt{a}$.

если $a>1$:
$a^2>\sqrt{a}$.

а)

1. Если $0<a<1$:

Мы должны доказать, что $a<\sqrt{a}$.

$a$ — положительное число, меньшее единицы, то есть $0<a<1$.

Поднимем обе части неравенства $a$ и $\sqrt{a}$ в квадрат:

$$a^2<a\mathrm{.}$$

Мы знаем, что если $0<a<1$, то квадрат числа $a$ будет меньше самого числа $a$, то есть $a^2<a$.

Таким образом, из неравенства $a^2<a$ следует, что:

$$a<\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Это и требовалось доказать.

Ответ: $a<\sqrt{a}$, если $0<a<1$.

2. Если $a>1$:

Теперь доказуем, что $a>\sqrt{a}$, когда $a>1$.

$a$ — положительное число, большее единицы, то есть $a>1$.

Поднимем обе части неравенства $a$ и $\sqrt{a}$ в квадрат:

$$a^2>a\mathrm{.}$$

Если $a>1$, то квадрат числа $a$ будет больше самого числа $a$, так как $a^2>a$ для всех $a>1$.

Таким образом, из неравенства $a^2>a$ следует, что:

$$a>\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Это и требовалось доказать.

Ответ: $a>\sqrt{a}$, если $a>1$.

б)

1. Если $0<a<1$:

Мы должны доказать, что $a^2<\sqrt{a}$ для $0<a<1$.

$a$ — положительное число, меньшее единицы, то есть $0<a<1$.

Поднимем обе части неравенства $a^2$ и $\sqrt{a}$ в квадрат:

$$a^4<a\mathrm{.}$$

Мы знаем, что для $0<a<1$, $a^4$ будет меньше $a$, то есть $a^4<a$. Это означает, что:

$$a^2<\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Таким образом, мы доказали, что для $0<a<1$ неравенство $a^2<\sqrt{a}$ выполняется.

Ответ: $a^2<\sqrt{a}$, если $0<a<1$.

2. Если $a>1$:

Теперь доказуем, что $a^2>\sqrt{a}$, когда $a>1$.

$a$ — положительное число, большее единицы, то есть $a>1$.

Поднимем обе части неравенства $a^2$ и $\sqrt{a}$ в квадрат:

$$a^4>a\mathrm{.}$$

Мы знаем, что для $a>1$, $a^4$ будет больше $a$, то есть $a^4>a$. Это означает, что:

$$a^2>\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Таким образом, мы доказали, что для $a>1$ неравенство $a^2>\sqrt{a}$ выполняется.

Ответ: $a^2>\sqrt{a}$, если $a>1$.