ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 306 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата некоторого числа:

а) $\sqrt{10}$;
б) $2\sqrt{2}$.

а) $\sqrt{10}={\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)}^2$.

б) $2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2\sqrt{2}}\right)}^2$.

а) $\sqrt{10}={\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)}^2$

Начинаем с уравнения:

$$\sqrt{10}={\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)}^2\mathrm{.}$$

Применим свойства квадратных корней. Извлечем квадратный корень из $\sqrt{10}$, и получим:

$$\sqrt{\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Это означает, что мы сначала извлекаем квадратный корень из числа $10$, а затем снова извлекаем квадратный корень.

Так как $\sqrt{10}$ — это число, равное квадратному корню из $10$, мы можем записать это так:

$$\sqrt{\sqrt{10}}=\sqrt{{10}^{1\mathrm{/}2}}={10}^{1\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$

Теперь возведем результат в квадрат:

$${\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)}^2={\left({10}^{1\mathrm{/}4}\right)}^2={10}^{1\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Мы видим, что результат ${10}^{1\mathrm{/}2}$ — это именно $\sqrt{10}$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\sqrt{10}={\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)}^2$.

б) $2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2\sqrt{2}}\right)}^2$

Начинаем с уравнения:

$$2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2\sqrt{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$

Применим свойства квадратных корней. Сначала извлекаем квадратный корень из $2\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Это означает, что мы сначала извлекаем квадратный корень из $2$, а затем извлекаем квадратный корень из результата.

Запишем $2\sqrt{2}$ как произведение:

$$\sqrt{2\sqrt{2}}=\sqrt{2\cdot 2^{1\mathrm{/}2}}=2^{1\mathrm{/}2}\cdot 2^{1\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$

После этого возведем результат в квадрат:

$${(2^{1\mathrm{/}2}\cdot 2^{1\mathrm{/}4})}^2=2^1\cdot 2^{1\mathrm{/}2}=2^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

Мы видим, что результат $2^{3\mathrm{/}2}=2\sqrt{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: $2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2\sqrt{2}}\right)}^2$.