ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 305 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что $a^2 + b^2 = 41$ и $ab = 20$. Найдем $a + b$. Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим $2ab = 40$. Сложив это равенство с первым, получим:

$$a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,$$ $$(a + b)^2 = 81,$$ $$a + b = 9 \quad \text{или} \quad a + b = -9.$$

Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) положительное значение суммы $a + b$, если $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$;

б) значения разности $a — b$, если $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$;

в) отрицательное значение разности $a — b$, если $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$;

г) положительное значение суммы $a + b$, если $(a — b)^2 = 5$ и $ab = 1$;

д) положительное значение разности $a — b$, если $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$.

а) $a^2+b^2=82$,
$ab=9$;

$a^2+b^2+2ab=82+18$
$(a+b{)}^2=100$
$a+b=10\text{или}a+b=-10$.

Ответ: 10.

б) $a^2+b^2=106$,
$ab=45$;

$a^2+b^2-2ab=106-90$
$(a-b{)}^2=16$
$a-b=4\text{или}a-b=-4$.

Ответ: $\pm 4$.

в) $a^2+b^2=72$,
$ab=18$;

$a^2+b^2-2ab=72-36$
$(a-b{)}^2=36$
$a-b=6\text{или}a-b=-6$.

Ответ: –6.

г) $(a-b{)}^2=5$,
$ab=1$;

$a^2-2ab+b^2=5$
$a^2+b^2=7$.

$a^2+b^2+2ab=7+2$
$(a+b{)}^2=9$
$a+b=3\text{или}a+b=-3$.

Ответ: $\pm 3$.

д) $a+b=8$,
$a^2+b^2=40$;

$(a+b{)}^2-2ab=40$
$64-2ab=40$
$2ab=24$.

Ответ: 4.

а) $a^2+b^2=82$

$ab=9$;

Начинаем с уравнений:

$$a^2+b^2=82,ab=9.$$

Для нахождения $(a+b{)}^2$ используем формулу разложения квадрата суммы:

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$(a+b{)}^2=82+2\cdot 9=82+18=100.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$a+b=\pm \sqrt{100}\mathrm{.}$$

Мы знаем, что $\sqrt{100}=10$, поэтому:

$$a+b=10\text{или}a+b=-10.$$

Ответ:

$$a+b=10.$$

Ответ: 10.

б) $a^2+b^2=106$

$ab=45$;

Начинаем с уравнений:

$$a^2+b^2=106,ab=45.$$

Для нахождения $(a-b{)}^2$ используем формулу разложения квадрата разности:

$$(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$(a-b{)}^2=106-2\cdot 45=106-90=16.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$a-b=\pm \sqrt{16}\mathrm{.}$$

Мы знаем, что $\sqrt{16}=4$, поэтому:

$$a-b=4\text{или}a-b=-4.$$

Ответ:

$$a-b=\pm 4.$$

Ответ: $\pm 4$.

в) $a^2+b^2=72$

$ab=18$;

Начинаем с уравнений:

$$a^2+b^2=72,ab=18.$$

Для нахождения $(a-b{)}^2$ используем формулу разложения квадрата разности:

$$(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$(a-b{)}^2=72-2\cdot 18=72-36=36.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$a-b=\pm \sqrt{36}\mathrm{.}$$

Мы знаем, что $\sqrt{36}=6$, поэтому:

$$a-b=6\text{или}a-b=-6.$$

Ответ:

$$a-b=-6.$$

Ответ: –6.

г) $(a-b{)}^2=5$

$ab=1$;

Начинаем с уравнений:

$$(a-b{)}^2=5,ab=1.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$a-b=\pm \sqrt{5}\mathrm{.}$$

Для нахождения $(a+b{)}^2$ используем формулу разложения квадрата суммы:

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab\mathrm{.}$$

Выразим $a^2+b^2$ через $(a-b{)}^2$ и $ab$:

$$a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab=5+2\cdot 1=5+2=7.$$

Подставляем в формулу для $(a+b{)}^2$:

$$(a+b{)}^2=7+2\cdot 1=7+2=9.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$a+b=\pm \sqrt{9}\mathrm{.}$$

Мы знаем, что $\sqrt{9}=3$, поэтому:

$$a+b=3\text{или}a+b=-3.$$

Ответ:

$$a+b=\pm 3.$$

Ответ: $\pm 3$.

д) $a+b=8$

$a^2+b^2=40$;

Начинаем с уравнений:

$$a+b=8,a^2+b^2=40.$$

Для нахождения $2ab$ используем формулу для квадрата суммы:

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$8^2=40+2ab\Rightarrow 64=40+2ab\mathrm{.}$$

Вычитаем 40 из обеих частей:

$$24=2ab\mathrm{.}$$

Разделим обе части на 2:

$$ab=12.$$

Ответ:

$$ab=12.$$

Ответ: 4.