ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 3 Дорофеев, Суворова- Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь выражение, которое делится на каждое из данных выражений:

а) $ab$, $bc$;

б) $x^{2}y$, $x{y}^2$;

в) $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$;

г) $p+q$, $2(p+q)$;

д) $m^2-n^2$, $5(m-n)$.

а) $\frac{abc}{ab}=c$;
$\frac{abc}{bc}=a$.

б) $\frac{x^2{y}^{2}z}{x^{2}y}=yz$;
$\frac{x^2{y}^{2}z}{x{y}^2}=xz$;
$\frac{x^2{y}^{2}z}{xy}=xyz$.

в) $\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2}=b^2{c}^2$;
$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{b^2}=a^2{c}^2$;

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{c^2}=a^2{b}^2$;

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{abc}=abc$.

г) $\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}=a-b$;

$\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$.

д) $\frac{2(p+q{)}^2}{(p+q{)}^2}=2$;

$\frac{2(p+q{)}^2}{2(p+q)}=p+q$.

е) $\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2}=5$;

$\frac{5(m^2-n^2)}{5(m-n)}=\frac{(m-n)(m+n)}{m-n}=m+n$.

а)

Выражение: $\frac{abc}{ab}$.

В числителе: произведение $a\cdot b\cdot c$.

В знаменателе: произведение $a\cdot b$.

При делении дроби с одинаковыми множителями в числителе и знаменателе, общие множители сокращаются.

Сокращаем $a$ и $b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{abc}{ab}=\frac{\cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot c}{\cancel{a}\cdot \cancel{b}}=c$$

Выражение: $\frac{abc}{bc}$.

В числителе: $a\cdot b\cdot c$.

В знаменателе: $b\cdot c$.

Сокращаем общий множитель $b$ и $c$:

$$\frac{abc}{bc}=\frac{a\cdot \cancel{b}\cdot \cancel{c}}{\cancel{b}\cdot \cancel{c}}=a$$

б)

$\frac{x^2{y}^{2}z}{x^{2}y}$:

Числитель содержит: $x^2\cdot y^2\cdot z$.

Знаменатель: $x^2\cdot y$.

Сократим одинаковые множители $x^2$ и $y$:

$$\frac{x^2{y}^{2}z}{x^{2}y}=\frac{\cancel{x^2}\cdot y^2\cdot z}{\cancel{x^2}\cdot y}=y^{2-1}\cdot z=y\cdot z=yz$$

$\frac{x^2{y}^{2}z}{x{y}^2}$:

Числитель: $x^2\cdot y^2\cdot z$.

Знаменатель: $x\cdot y^2$.

Сократим множители $x$ и $y^2$:

$$\frac{x^2{y}^{2}z}{x{y}^2}=\frac{x^2\cdot \cancel{y^2}\cdot z}{x\cdot \cancel{y^2}}=x^{2-1}\cdot z=x\cdot z=xz$$

$\frac{x^2{y}^{2}z}{xy}$:

Числитель: $x^2\cdot y^2\cdot z$.

Знаменатель: $x\cdot y$.

Сократим множители $x$ и $y$:

$$\frac{x^2{y}^{2}z}{xy}=\frac{x^2\cdot y^2\cdot z}{x\cdot y}=x^{2-1}\cdot y^{2-1}\cdot z=x\cdot y\cdot z=xyz$$

в)

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2}$:

Числитель: $a^2\cdot b^2\cdot c^2$.

Знаменатель: $a^2$.

Сократим $a^2$:

$$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2}=\frac{\cancel{a^2}\cdot b^2\cdot c^2}{\cancel{a^2}}=b^2{c}^2$$

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{b^2}$:

Аналогично:

$$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{b^2}=a^2\cdot \frac{\cancel{b^2}}{\cancel{b^2}}\cdot c^2=a^2{c}^2$$

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{c^2}$:

$$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{c^2}=a^2{b}^2$$

$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{abc}$:

Числитель: $a^2{b}^2{c}^2=a^2{b}^2{c}^2$.

Знаменатель: $a^1{b}^1{c}^1$.

Вычитаем степени в знаменателе из степеней в числителе:

$$\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^1{b}^1{c}^1}=a^{2-1}{b}^{2-1}{c}^{2-1}=a^1{b}^1{c}^1=abc$$

г)

$\frac{a^2-b^2}{a+b}$:

Раскроем разность квадратов в числителе:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Тогда:

$$\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$$

При условии $a+b\mathrm{\ne }0$, сокращаем $a+b$:

$$=a-b$$

$\frac{a^2-b^2}{a-b}$:

Аналогично:

$$\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$$

При условии $a-b\mathrm{\ne }0$.

д)

$\frac{2(p+q{)}^2}{(p+q{)}^2}$:

При $p+q\mathrm{\ne }0$ сокращаем:

$$\frac{2(p+q{)}^2}{(p+q{)}^2}=2$$

$\frac{2(p+q{)}^2}{2(p+q)}$:

Вынесем множитель 2 из числителя и знаменателя:

$$\frac{2(p+q{)}^2}{2(p+q)}=\frac{2\cdot (p+q{)}^2}{2\cdot (p+q)}=\frac{(p+q{)}^2}{p+q}$$

Сократим один множитель $p+q$:

$$=p+q$$

е)

$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2}$:

При $m^2-n^2\mathrm{\ne }0$ сокращаем:

$$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2-n^2}=5$$

$\frac{5(m^2-n^2)}{5(m-n)}$:

Вынесем множитель 5:

$$\frac{5(m^2-n^2)}{5(m-n)}=\frac{5\cdot (m-n)(m+n)}{5(m-n)}=\frac{(m-n)(m+n)}{m-n}$$

При $m-n\mathrm{\ne }0$ сокращаем:

$$=m+n$$

Вывод: во всех выражениях выполняется сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе, что подтверждает корректность равенств.