ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 296 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Даны уравнения:

$x^2 = 3$, $x^2 = -144$, $x^2 = \frac{4}{9}$, $x^2 = 144$, $x^2 = 0$, $x^2 = -3$.

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;
б) имеют два рациональных корня;
в) имеют два иррациональных корня;
г) имеют один корень;
д) не имеют корней.

а) Имеют два корня:
$x^2=3$; $x^2=\frac{4}{9}$; $x^2=144$.

б) Имеют два рациональных корня:
$x^2=144$; $x^2=\frac{4}{9}$.

в) Имеют два иррациональных корня:
$x^2=3$.

г) Не имеют корней:
$x^2=-144$; $x^2=-3$.

а) Имеют два корня:

1. $x^2=3$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=3.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$

$\sqrt{3}$ — иррациональное число, но оно имеет два корня: $\pm \sqrt{3}$.

Ответ:

$$x=\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$

2. $x^2=\frac{4}{9}$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=\frac{4}{9}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{\frac{4}{9}}\mathrm{.}$$

Мы можем упростить выражение:

$$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$x=\pm \frac{2}{3}\mathrm{.}$$

3. $x^2=144$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=144.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{144}\mathrm{.}$$

Вычисляем квадратный корень:

$$\sqrt{144}=12.$$

Ответ:

$$x=\pm 12.$$

Ответ: Уравнения $x^2=3$, $x^2=\frac{4}{9}$, $x^2=144$ имеют два корня: $\pm \sqrt{3}$, $\pm \frac{2}{3}$, $\pm 12$.

б) Имеют два рациональных корня:

1. $x^2=144$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=144.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{144}\mathrm{.}$$

Вычисляем квадратный корень:

$$\sqrt{144}=12.$$

Ответ:

$$x=\pm 12.$$

2. $x^2=\frac{4}{9}$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=\frac{4}{9}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{\frac{4}{9}}\mathrm{.}$$

Мы можем упростить выражение:

$$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$x=\pm \frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: Уравнения $x^2=144$ и $x^2=\frac{4}{9}$ имеют два рациональных корня: $\pm 12$ и $\pm \frac{2}{3}$.

в) Имеют два иррациональных корня:

1. $x^2=3$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=3.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$

$\sqrt{3}$ — иррациональное число, и оно имеет два корня $\pm \sqrt{3}$, так как оно не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби или рациональной дроби.

Ответ:

$$x=\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ: Уравнение $x^2=3$ имеет два иррациональных корня: $\pm \sqrt{3}$.

г) Не имеют корней:

1. $x^2=-144$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=-144.$$

Мы видим, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2\ge 0$. Следовательно, не существует действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Ответ:

$$\text{Корней нет}\mathrm{.}$$

2. $x^2=-3$

Начинаем с уравнения:

$$x^2=-3.$$

Мы видим, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, и не существует действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Ответ:

$$\text{Корней нет}\mathrm{.}$$

Ответ: Уравнения $x^2=-144$ и $x^2=-3$ не имеют корней в рамках действительных чисел.