ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 290 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие из следующих выражений не имеют смысла: $\sqrt{27}$, $\sqrt{-4}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{-8}$, $\sqrt{16}$,$\sqrt{16}$?

Не имеют смысла выражения: $\sqrt{-4}$; $\sqrt{-8}$.

Когда мы работаем с квадратными корнями, важно понимать, что корень из отрицательного числа в контексте действительных чисел не существует. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа всегда положителен или равен нулю. В этом решении мы будем рассматривать выражения $\sqrt{-4}$ и $\sqrt{-8}$, объясняя, почему они не имеют смысла в рамках действительных чисел.

1. Рассмотрение выражения $\sqrt{-4}$:

Мы начинаем с того, что задаем уравнение для квадратного корня из отрицательного числа:

$$\sqrt{-4}$$

Рассмотрим свойство квадратных корней: квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть:

$$x^2\ge 0\text{для всех}x\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{-4}$ требует нахождения числа, которое при возведении в квадрат даст отрицательное число (-4), это невозможно в рамках действительных чисел. Ведь, как мы уже сказали, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Поэтому $\sqrt{-4}$ не существует среди действительных чисел.

2. Рассмотрение выражения $\sqrt{-8}$:

Аналогично предыдущему, выражение $\sqrt{-8}$ также требует нахождения числа, которое при возведении в квадрат даст отрицательное число (-8).

$$\sqrt{-8}$$

По тем же самым причинам, как и в случае с $\sqrt{-4}$, не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат дало бы отрицательное число. Таким образом, $\sqrt{-8}$ также не имеет смысла в рамках действительных чисел.

3. Рассмотрение комплексных чисел:

Несмотря на то, что выражения $\sqrt{-4}$ и $\sqrt{-8}$ не имеют смысла в действительных числах, существует расширение числовой системы, известное как комплексные числа, где такие выражения приобретают смысл.

В системе комплексных чисел можно использовать мнимую единицу $i$, которая определяется как:

$$i=\sqrt{-1}\mathrm{.}$$

В этом контексте:

$\sqrt{-4}=2i$,

$\sqrt{-8}=2\sqrt{2}i$.

Однако в рамках действительных чисел такие выражения не имеют смысла.

4. Заключение:

В контексте действительных чисел выражения $\sqrt{-4}$ и $\sqrt{-8}$ не имеют смысла, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Для работы с такими выражениями необходимо использовать комплексные числа, где $\sqrt{-1}$ обозначается как $i$.

Итог: Эти выражения не имеют смысла в рамках действительных чисел, но могут быть интерпретированы в рамках комплексных чисел.