ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 286 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Убедитесь, что $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3 + 4$. Покажите геометрически, что если $a$ и $b$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

б) Покажите геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

а) $\sqrt{3^2+4^2}\mathrm{\ne }3+4$

$\sqrt{9+16}\mathrm{\ne }7$

$\sqrt{25}\mathrm{\ne }7$ — верно.

Тогда: $\sqrt{a^2+b^2}<a+b$, где $a>0,b>0$.

Гипотенуза равна $c=\sqrt{a^2+b^2}$, но по неравенству треугольника $c<a+b$, то есть, $\sqrt{a^2+b^2}<a+b$.

б) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c$

Из прямоугольного треугольника $ABC$ следует, что:

$BC=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}$

Из прямоугольного треугольника $BCD$ следует, что:

$CD=\sqrt{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$

Из неравенства треугольника следует неравенство

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}<c+\sqrt{a^2+b^2};$

аналогично $\sqrt{a^2+b^2}<a+b$.

Значит, $\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c$.

а) $\sqrt{3^2+4^2}\mathrm{\ne }3+4$

Прямой расчет:
Мы начинаем с выражения $\sqrt{3^2+4^2}$. Это выражение представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $4$.

Сначала возводим 3 и 4 в квадрат:

$$3^2=9,4^2=16.$$

Затем находим сумму:

$$3^2+4^2=9+16=25.$$

После этого извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{25}=5.$$

Ошибочное сравнение:
Мы видим, что $\sqrt{3^2+4^2}=5$, но выражение $3+4=7$. Таким образом, видно, что:

$$\sqrt{3^2+4^2}\mathrm{\ne }3+4,$$

поскольку 5 не равно 7.

Объяснение:
Это подтверждает, что квадратный корень из суммы квадратов двух чисел не равен сумме этих чисел, и это утверждение верно для всех положительных чисел $a$ и $b$, таких как $a>0,b>0$. Эта неравенство имеет важное значение в геометрии, особенно при работе с прямоугольными треугольниками.

Вывод:

$$\sqrt{a^2+b^2}<a+b\text{при}a>0,b>0.$$

б) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c$

Прямоугольный треугольник $ABC$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $BC$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$ выполняется равенство:

$$BC=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}$$

Дальнейшее построение:
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$, где $CD$ является гипотенузой и составляет:

$$CD=\sqrt{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$$

Это уравнение подтверждает, что гипотенуза треугольника $BCD$ равна $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Неравенство треугольника:
В данном случае, поскольку $CD$ является гипотенузой, мы применяем неравенство треугольника, которое гласит, что длина гипотенузы всегда меньше суммы двух других сторон. В данном контексте:

$$CD=\sqrt{a^2+b^2+c^2}<c+\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}$$

Это также аналогично предыдущему случаю, где мы утверждали, что $\sqrt{a^2+b^2}<a+b$.

Вывод:

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c\mathrm{.}$$

Таким образом, мы получаем заключение, что для любых положительных чисел $a,b,c$, выполняются следующие неравенства:

$$\sqrt{a^2+b^2}<a+b\text{и}\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c\mathrm{.}$$

Текст решения остается верным и доказанным.