ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 285 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Прямоугольный параллелепипед имеет измерения a, b и c (рис. 2.23).
а) Выразите диагональ d прямоугольного параллелепипеда через его измерения.
б) Используя полученную формулу, вычислите d, если a=3 см, b=4 см, c=12 см.
в) Выразите из полученной формулы ребро c. Найдите c, если d=17 см, a=9 см, b=12 см.

а) Диагональ основания обозначим буквой $l$:

$l=\sqrt{a^2+b^2},\text{тогда:}$

$d=\sqrt{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$

б) при $a=3$ см, $b=4$ см, $c=12$ см:

$d=\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\text{ см.}$

в) $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$d^2=a^2+b^2+c^2$

$c^2=d^2-a^2-b^2$

$c=\sqrt{d^2-a^2-b^2}\mathrm{.}$

При $d=17$ см, $a=9$ см, $b=12$ см:

$c=\sqrt{{17}^2-9^2-{12}^2}=\sqrt{289-81-144}=\sqrt{64}=8\text{ (см)}\mathrm{.}$

а) Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда обозначим буквой $l$. Для этого используем теорему Пифагора для основания:

$$l=\sqrt{a^2+b^2},\text{где }a\text{ и }b\text{ — это длины сторон основания прямоугольного }$$

$$\text{параллелепипеда.}$$

Теперь, чтобы найти диагональ всего параллелепипеда, которая соединяет противоположные углы (гипотенуза трехмерного прямоугольного треугольника), используем теорему Пифагора уже в трех измерениях:

$$d=\sqrt{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$$

Здесь $c$ — это высота прямоугольного параллелепипеда, а $a$ и $b$ — длины сторон основания.

б) Рассмотрим конкретный пример, где $a=3$ см, $b=4$ см и $c=12$ см. Мы можем вычислить диагональ $d$, подставив значения этих сторон в формулу:

$$d=\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\text{см.}$$

Таким образом, диагональ параллелепипеда в данном случае равна $13$ см.

в) Рассмотрим задачу на нахождение высоты параллелепипеда, если известна диагональ $d$, а также длины сторон основания $a$ и $b$. Мы имеем формулу для диагонали:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$$

Из этой формулы можно выразить высоту $c$ через диагональ и стороны основания. Для этого возведем обе части в квадрат:

$$d^2=a^2+b^2+c^2\mathrm{.}$$

Теперь из этой формулы выразим $c^2$:

$$c^2=d^2-a^2-b^2\mathrm{.}$$

Затем извлекаем квадратный корень:

$$c=\sqrt{d^2-a^2-b^2}\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим конкретный пример, при котором $d=17$ см, $a=9$ см и $b=12$ см. Подставим эти значения в формулу для $c$:

$$c=\sqrt{{17}^2-9^2-{12}^2}=\sqrt{289-81-144}=\sqrt{64}=8\text{см.}$$

Таким образом, высота параллелепипеда в данном случае составляет $8$ см.