ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 28 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) (x^2-9y^2)/(x+3y);
б) (a+2b)/(a^2+4ab+4b^2 );
в) (m^2-n^2)/(mn-n^2 );
г) (ax-ay)/(x^2-2xy+y^2 );
д) (2ab-6a)/(b^2-6b+9);
е) (5n^2+10n)/(n^2-4).

а) $\frac{x^2-9y^2}{x+3y}=\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}=x-3y$.

б) $\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}=\frac{a+2b}{(a+2b{)}^2}=\frac{1}{a+2b}$.

в) $\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}=\frac{m+n}{n}$.

г) $\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}=\frac{a(x-y)}{(x-y{)}^2}=\frac{a}{x-y}$.

д) $\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}=\frac{2a(b-3)}{(b-3{)}^2}=\frac{2a}{b-3}$.

е) $\frac{5n^2+10n}{n^2-4}=\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}=\frac{5n}{n-2}$.

а) Выражение $\frac{x^2-9y^2}{x+3y}=\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}=x-3y$

1. Исходное выражение:

$$\frac{x^2-9y^2}{x+3y}\mathrm{.}$$

2. Заметим, что числитель — разность квадратов:

$$x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y)\mathrm{.}$$

3. Подставим разложение в дробь:

$$\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}\mathrm{.}$$

4. Сократим множитель $x+3y$ (при $x+3y\mathrm{\ne }0$):

$$x-3y\mathrm{.}$$

б) Выражение $\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}=\frac{a+2b}{(a+2b{)}^2}=\frac{1}{a+2b}$

1. Исходное выражение:

$$\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}\mathrm{.}$$

2. Заметим, что знаменатель — полный квадрат:

$$a^2+4ab+4b^2=(a+2b{)}^2\mathrm{.}$$

3. Подставим:

$$\frac{a+2b}{(a+2b{)}^2}\mathrm{.}$$

4. Сократим $a+2b$ (при $a+2b\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{1}{a+2b}\mathrm{.}$$

в) Выражение $\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}=\frac{m+n}{n}$

1. Исходное выражение:

$$\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}\mathrm{.}$$

2. Разложим числитель как разность квадратов:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)\mathrm{.}$$

3. В знаменателе вынесем общий множитель $n$:

$$mn-n^2=n(m-n)\mathrm{.}$$

4. Подставим:

$$\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}\mathrm{.}$$

5. Сократим $m-n$ (при $m\mathrm{\ne }n$):

$$\frac{m+n}{n}\mathrm{.}$$

г) Выражение $\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}=\frac{a(x-y)}{(x-y{)}^2}=\frac{a}{x-y}$

1. Исходное выражение:

$$\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}\mathrm{.}$$

2. В числителе вынесем $a$:

$$ax-ay=a(x-y)\mathrm{.}$$

3. Знаменатель — полный квадрат:

$$x^2-2xy+y^2=(x-y{)}^2\mathrm{.}$$

4. Подставим:

$$\frac{a(x-y)}{(x-y{)}^2}\mathrm{.}$$

5. Сократим $x-y$ (при $x\mathrm{\ne }y$):

$$\frac{a}{x-y}\mathrm{.}$$

д) Выражение $\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}=\frac{2a(b-3)}{(b-3{)}^2}=\frac{2a}{b-3}$

1. Исходное выражение:

$$\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}\mathrm{.}$$

2. В числителе вынесем 2a:

$$2ab-6a=2a(b-3)\mathrm{.}$$

3. Знаменатель — полный квадрат:

$$b^2-6b+9=(b-3{)}^2\mathrm{.}$$

4. Подставим:

$$\frac{2a(b-3)}{(b-3{)}^2}\mathrm{.}$$

5. Сократим $b-3$ (при $b\mathrm{\ne }3$):

$$\frac{2a}{b-3}\mathrm{.}$$

е) Выражение $\frac{5n^2+10n}{n^2-4}=\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}=\frac{5n}{n-2}$

1. Исходное выражение:

$$\frac{5n^2+10n}{n^2-4}\mathrm{.}$$

2. В числителе вынесем $5n$:

$$5n^2+10n=5n(n+2)\mathrm{.}$$

3. Знаменатель — разность квадратов:

$$n^2-4=(n-2)(n+2)\mathrm{.}$$

4. Подставим:

$$\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}\mathrm{.}$$

5. Сократим $n+2$ (при $n\mathrm{\ne }-2$):

$$\frac{5n}{n-2}\mathrm{.}$$

Итог: Во всех пунктах выполнены разложения на множители, сокращения и упрощения выражений при соблюдении условий существования — чтобы не делить на ноль.