ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 253 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь таблицей (см. упражнение 252), сравните: v8 и v5, v13 и v17, v19 и v10, v11 и v7.
Как меняются значения vn с увеличение n?

$$\sqrt{8} > \sqrt{5}, \quad \sqrt{13} < \sqrt{17}, \quad \sqrt{19} > \sqrt{10}, \quad \sqrt{11} > \sqrt{7}.$$

Если $n$ увеличивается, то $\sqrt{n}$ тоже увеличивается.

Дано несколько неравенств с квадратными корнями:

$$\sqrt{8}>\sqrt{5},\sqrt{13}<\sqrt{17},\sqrt{19}>\sqrt{10},\sqrt{11}>\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Необходимо доказать, что если $n$ увеличивается, то $\sqrt{n}$ также увеличивается.

Краткий ответ с переводом:

Перевод: Все указанные неравенства верны, так как квадратные корни из больших чисел всегда больше квадратных корней из меньших чисел. Это подтверждается тем, что квадратный корень — монотонная функция: если $n_1>n_2$, то $\sqrt{n_1}>\sqrt{n_2}$.

Ответ: Каждый из данных примеров соответствует монотонности функции квадратного корня.

Подробное решение задания:

Шаг 1: Анализ первого неравенства $\sqrt{8}>\sqrt{5}$:

Мы знаем, что квадратный корень из большего числа всегда больше, чем квадратный корень из меньшего числа. В данном случае $8>5$, следовательно:

$$\sqrt{8}>\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Вычислим квадратные корни:

$$\sqrt{8}\approx 2.828,\sqrt{5}\approx \mathrm{2.236.}$$

Мы видим, что $2.828>2.236$, следовательно, неравенство верно.

Шаг 2: Анализ второго неравенства $\sqrt{13}<\sqrt{17}$:

Здесь $13<17$, следовательно:

$$\sqrt{13}<\sqrt{17}\mathrm{.}$$

Вычислим квадратные корни:

$$\sqrt{13}\approx 3.606,\sqrt{17}\approx \mathrm{4.123.}$$

Мы видим, что $3.606<4.123$, следовательно, неравенство верно.

Шаг 3: Анализ третьего неравенства $\sqrt{19}>\sqrt{10}$:

Здесь $19>10$, следовательно:

$$\sqrt{19}>\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Вычислим квадратные корни:

$$\sqrt{19}\approx 4.359,\sqrt{10}\approx \mathrm{3.162.}$$

Мы видим, что $4.359>3.162$, следовательно, неравенство верно.

Шаг 4: Анализ четвертого неравенства $\sqrt{11}>\sqrt{7}$:

Здесь $11>7$, следовательно:

$$\sqrt{11}>\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Вычислим квадратные корни:

$$\sqrt{11}\approx 3.317,\sqrt{7}\approx \mathrm{2.646.}$$

Мы видим, что $3.317>2.646$, следовательно, неравенство верно.

Шаг 5: Объяснение монотонности функции квадратного корня.

Функция $f(x)=\sqrt{x}$ является монотонной, что означает, что она всегда увеличивается при увеличении $x$. То есть если $n_1>n_2$, то $\sqrt{n_1}>\sqrt{n_2}$. Это свойство вытекает из того, что квадратный корень — это функция, обратная операции возведения в квадрат, и эта операция сохраняет порядок чисел.

Шаг 6: Заключение.

Все данные неравенства подтверждаются тем, что квадратные корни из большего числа всегда больше, чем квадратные корни из меньшего. Это свойство функции квадратного корня делает её монотонной.