ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 247 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Укажите, рациональным или иррациональным является число:
а) v5;
б) v25;
в) v37;
г) 2v16;
д) 1/2 v49.

а) $\sqrt{5}$ — иррациональное.

б) $\sqrt{25}=5$ — рациональное.

в) $\sqrt{37}$ — иррациональное.

г) $2\sqrt{16}=2\cdot 4=8$ — рациональное.

д) $\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{1}{2}\cdot 7=3.5$ — рациональное.

а) $\sqrt{5}$ — иррациональное.

Чтобы понять, является ли число $\sqrt{5}$ рациональным или иррациональным, рассмотрим его определение.

Рациональное число — это число, которое можно выразить как дробь $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q\mathrm{\ne }0$.

Если число не может быть представлено в виде такой дроби, то оно иррациональное.

Рассмотрим $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $\sqrt{5}$ не является целым числом, так как $5$ не является полным квадратом.

Проверим, можно ли выразить $\sqrt{5}$ в виде дроби. Число $\sqrt{5}$ не может быть точно выражено как конечная или периодическая десятичная дробь. Следовательно, оно иррациональное.

Ответ: $\sqrt{5}$ — иррациональное.

б) $\sqrt{25}=5$ — рациональное.

Рассмотрим число $\sqrt{25}$.

Мы знаем, что $\sqrt{25}=5$, и 5 — это целое число.

Целое число всегда является рациональным числом, так как его можно записать как дробь $\frac{5}{1}$.

Следовательно, $\sqrt{25}=5$ — рациональное число.

Ответ: $\sqrt{25}=5$ — рациональное.

в) $\sqrt{37}$ — иррациональное.

Рассмотрим $\sqrt{37}$.

Число 37 не является полным квадратом, так как его квадратный корень не является целым числом.

Также $\sqrt{37}$ нельзя точно выразить как конечную или периодическую десятичную дробь.

Мы можем использовать метод доказательства от противного, чтобы убедиться, что $\sqrt{37}$ не является рациональным. Пробуем выразить $\sqrt{37}$ как дробь $\frac{p}{q}$ и приходим к противоречию, что невозможно найти такие целые числа $p$ и $q$, которые удовлетворяли бы этому условию.

Таким образом, $\sqrt{37}$ является иррациональным числом.

Ответ: $\sqrt{37}$ — иррациональное.

г) $2\sqrt{16}=2\cdot 4=8$ — рациональное.

Рассмотрим выражение $2\sqrt{16}$.

Мы знаем, что $\sqrt{16}=4$, так как $4^2=16$.

Подставляем это значение в выражение:

$$2\sqrt{16}=2\cdot 4=8$$

Число 8 — это целое число, и любое целое число является рациональным.

Следовательно, $2\sqrt{16}=8$ — рациональное число.

Ответ: $2\sqrt{16}=8$ — рациональное.

д) $\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{1}{2}\cdot 7=3.5$ — рациональное.

Рассмотрим выражение $\frac{1}{2}\sqrt{49}$.

Мы знаем, что $\sqrt{49}=7$, так как $7^2=49$.

Подставляем это значение в выражение:

$$\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{1}{2}\cdot 7=3.5$$

Число 3.5 можно выразить как дробь $\frac{7}{2}$, которая является рациональной.

Следовательно, $\frac{1}{2}\sqrt{49}=3.5$ — рациональное число.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{49}=3.5$ — рациональное.