ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 245 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите:

а) $\sqrt{2^{1000}}$;
б) $\sqrt{3^{-50}}$;
в) $\sqrt{7^{500}}$;
г) $\sqrt{5^{-100}}$.

а) $\sqrt{2^{1000}}=\sqrt{(2^{500}{)}^2}=2^{500}$.

б) $\sqrt{3^{-50}}=\sqrt{(3^{-25}{)}^2}=-3^{-25}$.

в) $\sqrt{7^{500}}=\sqrt{(7^{250}{)}^2}=7^{250}$.

г) $\sqrt{5^{-100}}=\sqrt{(5^{-50}{)}^2}=5^{-50}$.

а) $\sqrt{2^{1000}}=\sqrt{(2^{500}{)}^2}=2^{500}$.

Начнем с выражения $\sqrt{2^{1000}}$. Мы видим, что в этом выражении содержится квадратный корень из $2^{1000}$.

Для упрощения, распишем это как:

$$\sqrt{2^{1000}}=\sqrt{(2^{500}{)}^2}$$

Здесь мы представляем $2^{1000}$ как квадрат числа $2^{500}$, потому что $(2^{500}{)}^2=2^{1000}$.

Теперь, извлекая квадратный корень из $(2^{500}{)}^2$, мы получаем просто $2^{500}$, так как $\sqrt{(a^2)}=a$ при $a\ge 0$.

Ответ:

$$\sqrt{2^{1000}}=2^{500}$$

б) $\sqrt{3^{-50}}=\sqrt{(3^{-25}{)}^2}=-3^{-25}$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{3^{-50}}$. Извлечение квадратного корня из отрицательной степени — это то же самое, что и возведение числа в степень $\frac{1}{2}$, то есть:

$$\sqrt{3^{-50}}=3^{-\frac{50}{2}}=3^{-25}$$

Однако в данном случае, чтобы упростить выражение, можно представить $3^{-50}$ как квадрат числа $3^{-25}$:

$$\sqrt{3^{-50}}=\sqrt{(3^{-25}{)}^2}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{(3^{-25}{)}^2}=3^{-25}$$

Ответ:

$$\sqrt{3^{-50}}=3^{-25}$$

Однако, как было записано в исходном выражении, знак минус в конечном ответе не нужен, так как степень четная. Поэтому результат остаётся положительным.

в) $\sqrt{7^{500}}=\sqrt{(7^{250}{)}^2}=7^{250}$.

Начнем с выражения $\sqrt{7^{500}}$.

Распишем это как:

$$\sqrt{7^{500}}=\sqrt{(7^{250}{)}^2}$$

Здесь $7^{500}=(7^{250}{)}^2$, так как $250\times 2=500$.

Извлекая квадратный корень из $(7^{250}{)}^2$, мы получаем:

$$\sqrt{(7^{250}{)}^2}=7^{250}$$

Ответ:

$$\sqrt{7^{500}}=7^{250}$$

г) $\sqrt{5^{-100}}=\sqrt{(5^{-50}{)}^2}=5^{-50}$.

Начнем с выражения $\sqrt{5^{-100}}$.

Представим $5^{-100}$ как квадрат числа $5^{-50}$:

$$\sqrt{5^{-100}}=\sqrt{(5^{-50}{)}^2}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из $(5^{-50}{)}^2$, что дает:

$$\sqrt{(5^{-50}{)}^2}=5^{-50}$$

Ответ:

$$\sqrt{5^{-100}}=5^{-50}$$