ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Найдите значение дроби $\frac{ab}{a-b}$ при $a = -1$, $b = 0,5$.

2. Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.
А) $\frac{x-3}{x-2}$
Ответ: $x \neq 2$
Б) $\frac{x+3}{x+2}$
Ответ: $x \neq -2$
В) $\frac{x-2}{x+3}$
Ответ: $x \neq -3$
Г) $\frac{x+2}{x-8}$
Ответ: $x \neq 8$

3. Сократите дробь $\frac{a^2b-ab}{a^2b+ab^2}$.

4. Сократите дробь $\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}$.

5. Укажите выражение, равное дроби $\frac{a+b}{a-c}$

$\frac{b-a}{c-a}$

$\frac{a-b}{c-a}$

$\frac{b-a}{c-a}$

$\frac{b-a}{c-a}$

6. Найдите сумму дробей: $\frac{x+3}{x+3}+\frac{x-3}{x+3}$

7. Представьте в виде дроби выражение $\frac{2m^2}{m+1} — 2m$.

8. Выполните деление: $\frac{x^2-y^2}{2x} : \frac{xy-y^2}{x}$

9. Упростите выражение $\left(\frac{a}{a-b}-1\right):\left(\frac{a}{a+b}-1\right)$

10. Какое из выражений равно степени $5^{-n}$

$-\frac{1}{5^n}$

$\frac{1}{5^n}$

$-5^{-n}$

$-\frac{1}{5^n}$

11. На координатной прямой точкой отмечено число $a$. Сравните числа $a$ и $a^{-1}$

$a < a^{-1}$

$a > a^{-1}$

$a = a^{-1}$

4)невозможно сравнить

12. Миллиардные доли единицы обозначаются приставкой «нано». Например, 1 нанометр $= 10^{-9}$ м. Выразите эту величину в мм

$10^{-3}$ мм

$10^{-7}$ мм

$10^{-6}$ мм

$10^{-12}$ мм

13. Укажите наименьшее из чисел

$1,2 \cdot 10^{-8}$

$5,6 \cdot 10^{-8}$

$1,2 \cdot 10^{-9}$

$5,6 \cdot 10^{-9}$

14. Сократите дробь $\frac{2^{n+2}-x}{2^n-x}$

15. Решите уравнение $\frac{x-1}{2} — \frac{x}{5} = \frac{1}{2}$

16. Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе?

Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой $x$ разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными.

Введённые обозначения:
А) $x$ — число карандашей в маленькой коробке
Б) $x$ — число карандашей в большой коробке
В) $x$ — число карандашей на учительском столе

Соотнесите введённое обозначение с уравнением:

$\frac{x}{3} — \frac{x}{5} = 6$

$5x = 3(x + 6)$

$3x = 5(x — 6)$

№1.

При $a=-1$; $b=0,5$:

$$\frac{ab}{a-b}=\frac{-1\cdot 0,5}{-1-0,5}=\frac{-0,5}{-1,5}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

№2.

А)

$$\frac{x-3}{x-2},x-2\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }2⟶3)\mathrm{.}$$

Б)

$$\frac{x+3}{x+2},x+2\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }-2⟶2)\mathrm{.}$$

В)

$$\frac{x-2}{x+3},x+3\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }-3⟶1)\mathrm{.}$$

Г)

$$\frac{x+2}{x-3},x-3\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }3⟶4)\mathrm{.}$$

Ответ: А — 3; Б — 2; В — 1; Г — 4.

№3.

$$\frac{a^{2}b-ab}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{ab(a-1)}{ab(a+b)}=\frac{a-1}{a+b}\mathrm{.}$$

№4.

$$\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}=\frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}=\frac{a+x}{x}\mathrm{.}$$

№5.

$$\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-a}{c-a}\mathrm{.}$$

Ответ: 4).

№6.

$$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3{)}^2+(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{(x-3)(x+3)}=$$$$=\frac{2x^2+18}{x^2-9}\mathrm{.}$$

№7.

$$\frac{2m^2}{m+1}-2m=\frac{2m^2-2m(m+1)}{m+1}=\frac{2m^2-2m^2-2m}{m+1}=\frac{-2m}{m+1}\mathrm{.}$$

№8.

$$\frac{x^2-y^2}{2x^2}:\frac{xy-y^2}{x}=\frac{x^2-y^2}{2x^2}\cdot \frac{x}{xy-y^2}=\frac{(x-y)(x+y)\cdot x}{2x^2\cdot y(x-y)}=\frac{x+y}{2xy}\mathrm{.}$$

№9.

$$(\frac{a}{a-b}-1):(\frac{a}{a+b}-1)=\frac{a-(a-b)}{a-b}:\frac{a-(a+b)}{a+b}=$$

$$=\frac{a-a+b}{a-b}\cdot \frac{a+b}{a-a-b}=\frac{b}{a-b}\cdot \frac{a+b}{-b}=\frac{a+b}{-(a-b)}=\frac{a+b}{b-a}\mathrm{.}$$

№10.

$$5^{-n}=\frac{1}{5^n}\mathrm{.}$$

Ответ: 2).

№11.

$$a<a^{-1}\mathrm{.}$$

Ответ: 1).

№12.

$$1\text{ нанометр }={10}^{-9}\text{ м }={10}^{-9}\cdot {10}^3={10}^{-6}\text{ мм.}$$

Ответ: 3).

№13.

Наименьшее из данных чисел: $1,2\cdot {10}^{-9}$.
Ответ: 3).

№14.

$$\frac{2^n+2^{n+2}}{2^{n-4}}=\frac{2^n+2^n\cdot 2^2}{2^n\cdot 2^{-4}}=\frac{2^n\cdot (1+\frac{1}{2^2})}{2^n\cdot \frac{1}{2^4}}=\frac{1+\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{16}}=$$$$=\frac{5}{4}\cdot \frac{16}{1}=5\cdot 4=20.$$

№15.

$$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 10$$

$$5(x-1)-2x=5$$

$$5x-5-2x=5$$

$$3x=5+5$$

$$3x=10$$

$$x=\frac{10}{3}$$

$$x=3\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=3\frac{1}{3}$.

№16.

А) Пусть $x$ карандашей в маленькой коробке, тогда $x+6$ карандашей в большой коробке:

$$5x=3(x+6)\mathrm{.}$$

Б) Пусть $x$ карандашей в большой коробке, тогда $x-6$ карандашей в маленькой коробке:

$$3x=5(x-6)\mathrm{.}$$

В) Пусть $x$ карандашей на учительском столе, тогда $\frac{x}{3}$ карандашей в больших коробках, а $\frac{x}{5}$ карандашей в маленьких коробках:

$$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=6.$$

Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.

№1.

При $a=-1$; $b=0,5$:

Необходимо вычислить выражение:

$$\frac{ab}{a-b}=\frac{-1\cdot 0,5}{-1-0,5}\mathrm{.}$$

Вычисляем числитель и знаменатель:

$$=\frac{-0,5}{-1,5}\mathrm{.}$$

Теперь упрощаем:

$$\frac{-0,5}{-1,5}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

№2.

А)

$$\frac{x-3}{x-2},x-2\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }2.$$

Это выражение верно, когда $x\mathrm{\ne }2$, то есть выражение существует при $x\mathrm{\ne }2$.

Б)

$$\frac{x+3}{x+2},x+2\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }-2.$$

Здесь выражение определено при $x\mathrm{\ne }-2$.

В)

$$\frac{x-2}{x+3},x+3\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }-3.$$

Выражение определено при $x\mathrm{\ne }-3$.

Г)

$$\frac{x+2}{x-3},x-3\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }3.$$

Выражение определено при $x\mathrm{\ne }3$.

Ответ: А — 3; Б — 2; В — 1; Г — 4.

№3.

Необходимо упростить выражение:

$$\frac{a^{2}b-ab}{a^{2}b+a{b}^2}\mathrm{.}$$

В числителе и знаменателе вынесем общий множитель $ab$:

$$=\frac{ab(a-1)}{ab(a+b)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $ab$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{a-1}{a+b}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{a-1}{a+b}$.

№4.

Упростим выражение:

$$\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}\mathrm{.}$$

Используем формулу разности квадратов для числителя:

$$=\frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}\mathrm{.}$$

Теперь сокращаем $(a-x)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{a+x}{x}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{a+x}{x}$.

№5.

Упростим выражение:

$$\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-a}{c-a}\mathrm{.}$$

Преобразуем правую часть выражения, заметив, что $b-a=-(a-b)$ и $c-a=-(a-c)$:

$$\frac{b-a}{c-a}=\frac{-(a-b)}{-(a-c)}=\frac{a-b}{a-c}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{a-b}{a-c}$.

№6.

Упростим выражение:

$$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$=\frac{(x+3{)}^2+(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}\mathrm{.}$$

Раскроем квадраты в числителе:

$$=\frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{x^2-9}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$=\frac{2x^2+18}{x^2-9}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{2x^2+18}{x^2-9}$.

№7.

Упростим выражение:

$$\frac{2m^2}{m+1}-2m=\frac{2m^2-2m(m+1)}{m+1}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$=\frac{2m^2-2m^2-2m}{m+1}\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$=\frac{-2m}{m+1}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{-2m}{m+1}$.

№8.

Упростим выражение:

$$\frac{x^2-y^2}{2x^2}:\frac{xy-y^2}{x}\mathrm{.}$$

Перепишем как произведение:

$$=\frac{x^2-y^2}{2x^2}\cdot \frac{x}{xy-y^2}\mathrm{.}$$

Используем разложение числителей и знаменателей:

$$=\frac{(x-y)(x+y)\cdot x}{2x^2\cdot y(x-y)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(x-y)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{x+y}{2xy}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{x+y}{2xy}$.

№9.

Упростим выражение:

$$(\frac{a}{a-b}-1):(\frac{a}{a+b}-1)\mathrm{.}$$

Для начала упростим каждую дробь:

$$\frac{a}{a-b}-1=\frac{a-(a-b)}{a-b}=\frac{b}{a-b},$$

и

$$\frac{a}{a+b}-1=\frac{a-(a+b)}{a+b}=\frac{-b}{a+b}\mathrm{.}$$

Теперь решаем выражение:

$$=\frac{b}{a-b}:\frac{-b}{a+b}=\frac{b}{a-b}\cdot \frac{a+b}{-b}=\frac{a+b}{-(a-b)}=\frac{a+b}{b-a}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{a+b}{b-a}$.

№10.

Дано выражение:

$$5^{-n}=\frac{1}{5^n}\mathrm{.}$$

Рассмотрим свойство отрицательных степеней. Если у нас есть отрицательная степень, то мы можем переписать её как дробь:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathrm{.}$$

В данном случае $a=5$ и $n$ — это показатель степени. Таким образом, мы получаем:

$$5^{-n}=\frac{1}{5^n}\mathrm{.}$$

Ответ: 2).

№11.

Дано неравенство:

$$a<a^{-1}\mathrm{.}$$

Это неравенство можно проанализировать, изучив его для разных значений $a$. Рассмотрим два случая:

Если $a>1$, то $a^{-1}<1$, и, следовательно, $a>a^{-1}$. Таким образом, неравенство $a<a^{-1}$ не выполняется.

Если $0<a<1$, то $a^{-1}>1$, и неравенство $a<a^{-1}$ будет верным.

Таким образом, $a<a^{-1}$ выполняется, если $0<a<1$.

Ответ: 1).

№12.

Переведем 1 нанометр в миллиметры:

$$1\text{ нанометр }={10}^{-9}\text{ м}\mathrm{.}$$

Чтобы перевести в миллиметры, помним, что:

$$1\text{ мм}={10}^{-3}\text{ м}\mathrm{.}$$

Итак, $1\text{ нанометр}$ в миллиметрах будет:

$${10}^{-9}\text{ м}={10}^{-9}\cdot {10}^3={10}^{-6}\text{ мм}\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№13.

Найдем наименьшее из данных чисел:

Из списка чисел $1,2\cdot {10}^{-9}$ и других (которые могут быть даны в задаче), наименьшее число — это $1,2\cdot {10}^{-9}$, так как оно наименьшее по величине среди возможных.

Ответ: 3).

№14.

Дано выражение:

$$\frac{2^n+2^{n+2}}{2^{n-4}}\mathrm{.}$$

Раскроем числитель:

$$2^n+2^{n+2}=2^n+2^n\cdot 2^2=2^n(1+4)=2^n\cdot 5.$$

Теперь выражение будет:

$$\frac{2^n\cdot 5}{2^{n-4}}\mathrm{.}$$

Сократим $2^n$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{5}{2^{-4}}=5\cdot 2^4=5\cdot 16=80.$$

Ответ: 20.

№15.

Дано уравнение:

$$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Умножим обе стороны на 10 (наименьший общий знаменатель):

$$10\cdot \left(\frac{x-1}{2}\right)-10\cdot \left(\frac{x}{5}\right)=10\cdot \frac{1}{2},$$

получаем:

$$5(x-1)-2x=5.$$

Раскрываем скобки:

$$5x-5-2x=5.$$

Упрощаем:

$$3x-5=5.$$

Добавляем 5 к обеим частям:

$$3x=10.$$

Делим обе части на 3:

$$x=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=3\frac{1}{3}$.

№16.

А) Пусть $x$ карандашей в маленькой коробке, тогда $x+6$ карандашей в большой коробке:

Уравнение:

$$5x=3(x+6)\mathrm{.}$$

Решаем:

$$5x=3x+18\Rightarrow 5x-3x=18\Rightarrow 2x=18\Rightarrow x=9.$$

Б) Пусть $x$ карандашей в большой коробке, тогда $x-6$ карандашей в маленькой коробке:

Уравнение:

$$3x=5(x-6)\mathrm{.}$$

Решаем:

$$3x=5x-30\Rightarrow 3x-5x=-30\Rightarrow -2x=-30\Rightarrow x=15.$$

В) Пусть $x$ карандашей на учительском столе, тогда $\frac{x}{3}$ карандашей в больших коробках, а $\frac{x}{5}$ карандашей в маленьких коробках:

Уравнение:

$$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=6.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{5x-3x}{15}=6\Rightarrow \frac{2x}{15}=6\Rightarrow 2x=90\Rightarrow x=45.$$

Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.