ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Это Надо Знать Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Укажите числа, которые не входят в множество допустимых значений переменной дроби:
а)  $\frac{2x-3}{x+8}$; б) $\frac{a-1}{a^2}$. Какие числа нельзя подставлять вместо букв в алгебраическую дробь?

2. Сформулируйте основное свойство дроби. Примените его для приведения дроби $\frac{a}{a+b}$ к знаменателю $ab+b^2$.

3. Объясните, как сократить дробь $\frac{m-mn}{m^2-mn}$.

4. Прочитайте словами свойства, которые в буквенном виде записываются так: $\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{a}{b}=\; —\frac{-a}{b}$. Примените их к дроби $\frac{a-2}{b-1}$.

5. Объясните, как сократить дробь $\frac{8y-8x}{x^2-y^2}$.

6. Объясните на примере выражения $\frac{x+m}{xt}+\frac{y-m}{yt}$, как выполняют сложение дробей с разными знаменателями.

7. Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило умножения дробей. Примените его к произведению $\frac{x-y}{2x}\cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2}$.

8. Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило деления дробей. Примените его к частному $\frac{n}{m^2+mn}:\frac{n^2}{m^2-n^2}$.

9. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем. Приведите примеры.

10. Дайте определение степени с нулевым показателем. Приведите примеры.

11. Запишите с помощью букв свойства степени с целым показателем.

№1.

а)$$\frac{2x-3}{x+8};$$

$$x+8\mathrm{\ne }0$$

$$x\mathrm{\ne }-8.$$

Ответ:$x\mathrm{\ne }-8$

б)$$\frac{a-1}{a^2};$$

$$a^2\mathrm{\ne }0$$

$$a\mathrm{\ne }0.$$

Ответ:$a\mathrm{\ne }0.$Вместо букв в алгебраическую дробь нельзя подставлять числа, которые обращают ее знаменатель в нуль.

№2.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной:

$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},\text{ где }C\mathrm{\ne }0.$$

Пример:

$$\frac{a}{a+b}=\frac{ab}{b(a+b)}=\frac{ab}{ab+b^2}\mathrm{.}$$

№3.

$$\frac{m-mn}{m^2-mn}=\frac{m(1-n)}{m(m-n)}=\frac{1-n}{m-n}\mathrm{.}$$

№4. Если числитель и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной.
Примеры:

$$\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}\mathrm{.}$$

$$\frac{a-2}{b-1}=\frac{2-a}{1-b}=-\frac{a-2}{1-b}=-\frac{2-a}{b-1}\mathrm{.}$$

№5.

$$\frac{3y-3x}{x^2-y^2}=\frac{-3(x-y)}{(x-y)(x+y)}=-\frac{3}{x+y}\mathrm{.}$$

№6.

$$\frac{x+m}{xm}+\frac{y-m}{ym}=\frac{y(x+m)}{xmy}+\frac{x(y-m)}{xmy}=\frac{y(x+m)+x(y-m)}{xmy}=$$

$$=\frac{xy+my+xy-xm}{xmy}=\frac{2xy+my-xm}{xmy}\mathrm{.}$$

№7. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе дроби:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}\mathrm{.}$$

Пример:

$$\frac{x-y}{2x}\cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)\cdot 2x^2}{2x\cdot (x-y)(x+y)}=\frac{x}{x+y}\mathrm{.}$$

№8. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

$$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}\mathrm{.}$$

Пример:

$$\frac{n}{m^2+mn}:\frac{n^2}{m^2-n^2}=\frac{n}{m(m+n)}\cdot \frac{m^2-n^2}{n^2}=$$

$$=\frac{n\cdot (m-n)(m+n)}{m(m+n)\cdot n^2}=\frac{m-n}{mn}\mathrm{.}$$

№9. Для любого числа $a$, не равного нулю, и целого отрицательного числа $-n$:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathrm{.}$$

Примеры:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2};2^{-3}=\frac{1}{2^3};b^{-8}=\frac{1}{b^8}\mathrm{.}$$

№10. Для любого числа $a$, не равного нулю, $a^0=1$.
Примеры:

$$2^0=1;(-3{)}^0=1;{(-\frac{5}{7})}^0=1.$$

№11. Для любого $a\mathrm{\ne }0$и любых целых $m$и $n$:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n};$$

$$a^m:a^n=a^{m-n};$$

$$(a^m{)}^n=a^{mn}\mathrm{.}$$

Для любых $a\mathrm{\ne }0$, $b\mathrm{\ne }0$и любого целого $n$:

$$(ab{)}^n=a^n{b}^n;$$

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^{}}$$

№1.

а) У нас есть дробь:

$$\frac{2x-3}{x+8}$$

Чтобы дробь была определена, ее знаменатель не должен быть равен нулю.

• Шаг 1: Условие для определения дроби: знаменатель не может быть равен нулю:
  $$x+8\mathrm{\ne }\mathrm{0<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}$$
• Шаг 2: Решим это неравенство:
  $$x\mathrm{\ne }-8$$

Ответ:$x\mathrm{\ne }-8$

б) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a-1}{a^2}$$

Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен быть равен нулю.

• Шаг 1: Знаменатель — это $a^2$, и он не может быть равен нулю:$$a^2\mathrm{\ne }0$$ 
• Шаг 2: Из этого следует:
  $$a\mathrm{\ne }0$$

Ответ:$a\mathrm{\ne }0$

Общее замечание: В алгебраической дроби нельзя подставлять такие значения переменных, которые обращают знаменатель в ноль.

№2.

Основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то дробь останется эквивалентной исходной.

• Шаг 1: Запишем общее свойство:
  $$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},C\mathrm{\ne }0$$где A — числитель, B— знаменатель, и C — любой ненулевой многочлен.
• Шаг 2: Пример:
  $$\frac{a}{a+b}=\frac{ab}{b(a+b)}=\frac{ab}{ab+b^2}$$Мы умножили числитель и знаменатель на b, и дробь осталась эквивалентной.

№3.

Упростим дробь:

$$\frac{m-mn}{m^2-mn}$$

• Шаг 1: Вынесем m за скобки в числителе и знаменателе:$$=\frac{m(1-n)}{m(m-n)}$$
• Шаг 2: Сократим на m(при условии, что m ≠ 0):

  $$=\frac{1-n}{m-n}$$

№4.

Если числитель и знаменатель дроби заменить на противоположные выражения, то дробь остается эквивалентной.

• Шаг 1: Пример:
  $$\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$$В этом случае замена знаков в числителе и знаменателе не меняет дробь.
• Шаг 2: Еще один пример:
  $$\frac{a-2}{b-1}=\frac{2-a}{1-b}=-\frac{a-2}{1-b}=-\frac{2-a}{b-1}$$Здесь также заменены знаки, и дробь осталась эквивалентной.

№5.

Упростим дробь:

$$\frac{3y-3x}{x^2-y^2}$$

• Шаг 1: Вынесем — $\mathrm{3\; из\; числителя:<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">\; </span>}$$$=\frac{-3(x-y)}{x^2-y^2}$$
• Шаг 2: Применим формулу разности квадратов для знаменателя:
  $$=\frac{-3(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$
• Шаг 3: Сократим на ($x-y)$(при условии, что x ≠ y):

  $$=-\frac{3}{x+y}$$

№6.

Упростим выражение:

$$\frac{x+m}{xm}+\frac{y-m}{ym}$$

• Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю:
  $$=\frac{y(x+m)}{xmy}+\frac{x(y-m)}{xmy}$$
• Шаг 2: Складываем числители:
  $$=\frac{y(x+m)+x(y-m)}{xm\mathrm{y<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}}$$
• Шаг 3: Раскроем скобки:
  $$=\frac{xy+my+xy-xm}{xm\mathrm{y<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}}$$
• Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:
  $$=\frac{2xy+my-xm}{xmy}$$

№7.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители и знаменатели.

• Шаг 1: Запишем общее правило:
  $$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$$

Пример:

$$\frac{x-y}{2x}\cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)\cdot 2x^2}{2x\cdot (x-y)(x+y)}=\frac{x}{x+y}$$

№8.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить на обратную дробь.

• Шаг 1: Запишем общее правило:
  $$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}$$

Пример:

$$\frac{n}{m^2+mn}:\frac{n^2}{m^2-n^2}=\frac{n}{m(m+n)}\cdot \frac{m^2-n^2}{n^2}$$

• Шаг 2: Перемножим числители и знаменатели:
  $$=\frac{n\cdot (m-n)(m+n)}{m(m+n)\cdot n^2}$$ 
• Шаг 3: Упростим дробь:
  $$=\frac{m-n}{mn}$$

№9.

Для любого числа $a$, не равного нулю, и целого отрицательного числа $-n$:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Примеры:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2};2^{-3}=\frac{1}{2^3};b^{-8}=\frac{1}{b^8}$$

№10.

Для любого числа $a$, не равного нулю, $a^0=1$.

Примеры:

$$2^0=1;(-3{)}^0=1;{(-\frac{5}{7})}^0=1$$

№11.

Для любого $a\mathrm{\ne }\mathrm{0 }$и любых целых $\mathrm{m }$и $n$:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

$$a^m:a^n=a^{m-n}$$

$$(a^m{)}^n=a^{mn}$$

Для любых $a\mathrm{\ne }0$, $b\mathrm{\ne }\mathrm{0 }$и любого целого $n$:

$$(ab{)}^n=a^n{b}^n$$

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$$