ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 219 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Курьер доехал на велосипеде до почты и вернулся обратно другой дорогой, которая на 3 км короче. До почты он ехал со скоростью 18 км/ч, а обратно — со скоростью 9 км/ч, и на весь путь у него ушло 3 ч. Найдите весь путь, который проделал курьер.
б) Из города в поселок можно добраться по шоссе на автомобиле или по реке на катере. Путь по шоссе на 8 км короче, чем по реке. Автомобиль доезжает до поселка за 20 мин, а катер проходит расстояние от города до поселка за 1 ч 20 мин. Скорость автомобиля на 39 км/ч больше скорости катера. Определите расстояние от города до поселка по шоссе и по реке.

а) Пусть путь до почты был $x$ км, а обратная дорога $x-3$ км.
Тогда до почты курьер затратил $\frac{x}{18}$ ч, а на обратный путь $\frac{x-3}{9}$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{x}{18}+\frac{x-3}{9}=3\mathrm{\mid }\cdot 18$$

$$$$$$x+2(x-3)=3\cdot 18$$

$$$$$$x+2x-6=54$$

$$$$$$3x=54+6$$

$$$$$$3x=60$$

$$$$$$x=20\text{ (км)}\text{— до почты}$$

$$\text{.}$$$$x-3=20-3=17\text{ (км)}\text{— обратный путь.}$$

$$$$$$20+17=37\text{ (км)}\text{— весь путь.}$$

Ответ: $37$ км.

б) Пусть скорость катера $x$ км/ч, тогда скорость автомобиля $x+39$ км/ч.
Путь по реке $(1\text{ ч }20\text{ мин}=1\frac{20}{60}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\text{ ч})$ — $\frac{4}{3}x$ км, а по шоссе $(20\text{ мин}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\text{ ч})$ — $\frac{1}{3}(x+39)$ км.

Составим уравнение:

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}(x+39)=8\mathrm{\mid }\cdot 3$$

$$$$$$4x-x-39=24$$

$$$$$$3x=24+39$$

$$$$$$3x=63$$

$$$$$$x=21\text{ (км/ч)}\text{— скорость катера.}$$

$$$$$$x+39=21+39=60\text{ (км/ч)}\text{— скорость автомобиля.}$$

Расстояние от города до поселка по шоссе:

$$60\cdot \frac{1}{3}=20\text{ (км)}\mathrm{.}$$

Расстояние от города до поселка по реке:

$$21\cdot \frac{4}{3}=7\cdot 4=28\text{ (км)}\mathrm{.}$$

Ответ: $20$ км и $28$ км.

а)

Условие: Пусть путь до почты был $x$ км, а обратная дорога $x-3$ км. Тогда до почты курьер затратил $\frac{x}{18}$ ч, а на обратный путь $\frac{x-3}{9}$ ч. Нам нужно найти полный путь, который курьер преодолел, и решить задачу.

1. Записать уравнение.

Сначала составим уравнение для времени, которое курьер потратил на пути в одну сторону и обратно:

• Время на пути до почты: $\frac{x}{18}$ ч.
• Время на обратном пути: $\frac{x-3}{9}$ ч.

Согласно условию задачи, суммарное время на оба пути равно 3 часа:

$$\frac{x}{18}+\frac{x-3}{9}=3.$$

2. Умножим обе части уравнения на 18.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на 18 (наименьшее общее кратное знаменателей 18 и 9):

$$18\cdot (\frac{x}{18}+\frac{x-3}{9})=18\cdot 3.$$

Теперь упростим:

$$x+2(x-3)=54.$$

3. Упростим выражение.

Раскроем скобки и соберем подобные члены:

$$x+2x-6=54,$$$$3x-6=54.$$

4. Изолируем переменную $x$.

Теперь изолируем $x$:

$$3x=54+6,$$$$3x=60.$$

5. Решаем уравнение.

Разделим обе стороны на 3:

$$x=\frac{60}{3},$$$$x=20\text{ км}\mathrm{.}$$

6. Находим обратный путь.

Теперь, зная $x=20$ км, находим расстояние обратного пути:

$$x-3=20-3=17\text{ км}\mathrm{.}$$

7. Ищем общий путь.

Общий путь курьера:

$$20+17=37\text{ км}\mathrm{.}$$

Ответ: $37$ км.

б)

Условие: Пусть скорость катера $x$ км/ч, тогда скорость автомобиля $x+39$ км/ч. Путь по реке составляет $\frac{4}{3}x$ км, а по шоссе — $\frac{1}{3}(x+39)$ км. Нам нужно найти скорости катера и автомобиля и расстояния.

1. Запишем уравнение для времени пути.

По условию задачи, время, затраченное катером, и время, затраченное автомобилем, суммируются и дают 8 часов:

• Время катера по реке: $\frac{4}{3}x$ км.
• Время автомобиля по шоссе: $\frac{1}{3}(x+39)$ км.

Составим уравнение для времени:

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}(x+39)=8\mathrm{\mid }\cdot 3.$$

2. Умножим на 3 для избавления от дробей.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 3:

$$3\cdot (\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}(x+39))=3\cdot 8,$$

$$$$$$4x-(x+39)=24.$$

3. Упростим выражение.

Раскроем скобки и соберем подобные члены:

$$4x-x-39=24,$$

$$$$$$3x-39=24.$$

4. Изолируем переменную $x$.

Теперь изолируем $x$:

$$3x=24+39,$$$$3x=63.$$

5. Решаем уравнение.

Разделим обе стороны на 3:

$$x=\frac{63}{3},$$$$x=21\text{ км/ч}\mathrm{.}$$

6. Находим скорость автомобиля.

Теперь, зная скорость катера, находим скорость автомобиля:

$$x+39=21+39=60\text{ км/ч}\mathrm{.}$$

7. Вычисляем расстояния.

Расстояние от города до поселка по шоссе:

$$60\cdot \frac{1}{3}=20\text{ км}\mathrm{.}$$

Расстояние от города до поселка по реке:

$$21\cdot \frac{4}{3}=7\cdot 4=28\text{ км}\mathrm{.}$$

Ответ: $20$ км и $28$ км.