ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 214 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа a^(-1) и b^(-2), если известно, что:
а) 0 < a < 1;
б) a > 1;
в) -1 < a < 0;
г) a < -1.

а) $0<a<1$,
$a>a^2$, тогда $\frac{1}{a}<\frac{1}{a^2}$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

б) $a>1$,
$a^2>a$, тогда $\frac{1}{a^2}<\frac{1}{a}$;
$a^{-1}>a^{-2}$.

в) $-1<a<0$,
$\frac{1}{a}<0$; $\frac{1}{a^2}>0$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

г) $a<-1$,
$\frac{1}{a}<0$; $\frac{1}{a^2}>0$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

а)

Дано: $0<a<1$,
$a>a^2$, тогда $\frac{1}{a}<\frac{1}{a^2}$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

1. Исходные условия.

Задано, что $a$ находится в интервале $(0,1)$, то есть $0<a<1$. Также известно, что $a>a^2$.

2. Покажем, что $\frac{1}{a}<\frac{1}{a^2}$.

Если $0<a<1$, то $a^2<a$. Теперь рассмотрим выражения $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a^2}$.
Так как $a^2<a$, инвертируя обе стороны, мы получаем, что:

$$\frac{1}{a}>\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

Однако, из условия $a>a^2$, мы видим, что для положительных чисел, инвертирование сохраняет неравенство в обратном порядке. То есть:

$$\frac{1}{a}<\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

Таким образом, $\frac{1}{a}<\frac{1}{a^2}$ для $0<a<1$.

3. Рассмотрим $a^{-1}<a^{-2}$.

Так как $a^{-1}=\frac{1}{a}$ и $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$, то:

$$a^{-1}=\frac{1}{a},a^{-2}=\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

Таким образом, результат для $a^{-1}<a^{-2}$ подтверждается:

$$a^{-1}<a^{-2}\mathrm{.}$$

б)

Дано: $a>1$,
$a^2>a$, тогда $\frac{1}{a^2}<\frac{1}{a}$;
$a^{-1}>a^{-2}$.

1. Исходные условия.

Задано, что $a>1$, а также что $a^2>a$, что верно для всех $a>1$.

2. Покажем, что $\frac{1}{a^2}<\frac{1}{a}$.

Если $a>1$, то $a^2>a$. Инвертируя обе стороны неравенства $a^2>a$, получаем:

$$\frac{1}{a^2}<\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

Таким образом, $\frac{1}{a^2}<\frac{1}{a}$ для $a>1$.

3. Рассмотрим $a^{-1}>a^{-2}$.

Так как $a^{-1}=\frac{1}{a}$ и $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$, мы получаем:

$$a^{-1}=\frac{1}{a},a^{-2}=\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$

Поскольку $\frac{1}{a}>\frac{1}{a^2}$ для $a>1$, мы приходим к следующему результату:

$$a^{-1}>a^{-2}\mathrm{.}$$

в)

Дано: $-1<a<0$,
$\frac{1}{a}<0$; $\frac{1}{a^2}>0$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

1. Исходные условия.

Задано, что $-1<a<0$, то есть $a$ — это отрицательное число в пределах от $-1$ до $0$. Мы также знаем, что для таких значений $a$, $\frac{1}{a}$ будет отрицательным, а $\frac{1}{a^2}$ будет положительным.

2. Покажем, что $\frac{1}{a}<0$.

Для $-1<a<0$, так как $a$ отрицательно, то $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным. То есть:

$$\frac{1}{a}<0.$$

3. Покажем, что $\frac{1}{a^2}>0$.

Так как $a^2$ всегда положительно для всех действительных $a$, $\frac{1}{a^2}$ также будет положительным:

$$\frac{1}{a^2}>0.$$

4. Покажем, что $a^{-1}<a^{-2}$.

Так как $a^{-1}=\frac{1}{a}$ и $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$, а $\frac{1}{a}<0$ и $\frac{1}{a^2}>0$, то результат:

$$a^{-1}<a^{-2}\mathrm{.}$$

г)

Дано: $a<-1$,
$\frac{1}{a}<0$; $\frac{1}{a^2}>0$;
$a^{-1}<a^{-2}$.

1. Исходные условия.

Задано, что $a<-1$, то есть $a$ — это отрицательное число, которое меньше $-1$. Мы также знаем, что для таких значений $a$, $\frac{1}{a}$ будет отрицательным, а $\frac{1}{a^2}$ будет положительным.

2. Покажем, что $\frac{1}{a}<0$.

Для $a<-1$, так как $a$ отрицательно, то $\frac{1}{a}$ будет отрицательным:

$$\frac{1}{a}<0.$$

3. Покажем, что $\frac{1}{a^2}>0$.

Так как $a^2$ всегда положительно для всех действительных $a$, $\frac{1}{a^2}$ также будет положительным:

$$\frac{1}{a^2}>0.$$

4. Покажем, что $a^{-1}<a^{-2}$.

Так как $a^{-1}=\frac{1}{a}$ и $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$, а $\frac{1}{a}<0$ и $\frac{1}{a^2}>0$, то результат:

$$a^{-1}<a^{-2}\mathrm{.}$$