ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 213 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$, если известно, что:

а) $a > 0$, $b > 0$, $a > b$;

б) $a < 0$, $b < 0$, $a > b$.

а) $a>0$, $b>0$, $a>b$;
Пусть $a=3$, $b=2$, тогда $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$;
$a^{-1}<b^{-1}$.

б) $a<0$, $b<0$, $a>b$;
Пусть $a=-2$, $b=-3$, тогда $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$;
$a^{-1}<b^{-1}$.

а)

Дано: $a>0$, $b>0$, $a>b$;
Пусть $a=3$, $b=2$, тогда $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$;
$a^{-1}<b^{-1}$.

1. Изначальные условия.

Мы имеем два положительных числа: $a>0$ и $b>0$, и $a>b$. Требуется показать, что $a^{-1}<b^{-1}$ в случае, когда $a>b$.

2. Рассмотрим дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Для чисел, которые больше нуля, инвертирование чисел меняет их порядок, но в обратную сторону. То есть, если $a>b$, то:

$$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\mathrm{.}$$

Эта интуиция подтверждается при взятии примера, где $a=3$ и $b=2$.

3. Проверим на примере с конкретными значениями.

Пусть $a=3$, $b=2$. Подставляем эти значения:

$$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Мы видим, что:

$$\frac{1}{3}\approx 0.3333,\frac{1}{2}=0.5,$$

и действительно:

$$0.3333<\mathrm{0.5.}$$

Таким образом, выражение $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ выполняется для положительных чисел $a$ и $b$, если $a>b$.

4. Интерпретация результата для $a^{-1}$ и $b^{-1}$.

Рассмотрим обратные числа:

$$a^{-1}=\frac{1}{a},b^{-1}=\frac{1}{b}\mathrm{.}$$

Таким образом, если $a>b$, то:

$$a^{-1}=\frac{1}{a}<\frac{1}{b}=b^{-1}\mathrm{.}$$

И, следовательно:

$$a^{-1}<b^{-1}\mathrm{.}$$

б)

Дано: $a<0$, $b<0$, $a>b$;
Пусть $a=-2$, $b=-3$, тогда $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$;
$a^{-1}<b^{-1}$.

1. Изначальные условия.

В данном случае $a<0$ и $b<0$, и $a>b$. Точно так же, как в предыдущем случае, нам нужно показать, что $a^{-1}<b^{-1}$, но теперь для отрицательных чисел.

2. Рассмотрим инвертированные отрицательные числа.

Для отрицательных чисел порядок инвертированных величин будет противоположным. То есть, если $a>b$, то для отрицательных чисел инвертированные числа будут следовать в обратном порядке, то есть:

$$a^{-1}>b^{-1}\mathrm{.}$$

3. Проверим на примере с конкретными значениями.

Пусть $a=-2$ и $b=-3$. Подставим эти значения:

$$-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Мы видим, что:

$$-\frac{1}{2}=-0.5,-\frac{1}{3}\approx -0.3333,$$

и действительно:

$$-0.5<-\mathrm{0.3333.}$$

Это соответствует интуитивному ожиданию: если $a=-2$ и $b=-3$, то инвертированные числа будут следовать в обратном порядке.

4. Интерпретация результата для $a^{-1}$ и $b^{-1}$.

Рассмотрим обратные числа:

$$a^{-1}=\frac{1}{a},b^{-1}=\frac{1}{b}\mathrm{.}$$

Если $a>b$ для отрицательных чисел, то их обратные числа будут выполняться наоборот. То есть:

Итак, для $a=-2$ и $b=-3$ мы видим, что:

$$a^{-1}=-\frac{1}{2},b^{-1}=-\frac{1}{3},$$

и , что соответствует правильному порядку для отрицательных чисел.