ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 212 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Дано: x-x/(x+1)=y. Выразите x^2+x^2/(x+1)^2 через y.
б) Дано: x+x/(x-1)=y. Выразите x^2+x^2/(x-1)^2 через y.

Вот точный переписанный текст без изменений:

a) Дано: $x — \frac{x}{x+1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2}$ через $y$.

$$x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} — 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} =$$ $$= \left(x — \frac{x}{x+1}\right)^2 + 2x \cdot \frac{x}{x+1} = y^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{x+1}.$$

б) Дано: $x + \frac{x}{x-1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2}$ через $y$.

$$x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x-1} — 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x-1} =$$ $$= \left(x + \frac{x}{x-1}\right)^2 — 2x \cdot \frac{x}{x-1} = y^2 — 2 \cdot \frac{x^2}{x-1}.$$

a) Дано:

$$x — \frac{x}{x + 1} = y$$

Найти выражение для:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2}$$

Шаг 1. Заметим, что выражение $x — \frac{x}{x + 1}$ уже связано с $y$. Попробуем использовать его в виде квадрата разности:

$$(x — \frac{x}{x + 1})^2 = y^2$$

Шаг 2. Воспользуемся формулой квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

В нашем случае:
$a = x$,
$b = \frac{x}{x + 1}$

Тогда:

$$\left(x — \frac{x}{x + 1}\right)^2 = x^2 — 2x \cdot \frac{x}{x + 1} + \left(\frac{x}{x + 1}\right)^2$$

Распишем последнюю часть подробнее:

$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{x^2}{(x + 1)^2}$$

Таким образом:

$$y^2 = x^2 — 2 \cdot \frac{x^2}{x + 1} + \frac{x^2}{(x + 1)^2}$$

Шаг 3. Нам нужно выразить:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2}$$

Сложим обе части:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} = \left[ x^2 — 2 \cdot \frac{x^2}{x + 1} + \frac{x^2}{(x + 1)^2} \right] + 2 \cdot \frac{x^2}{x + 1}$$

Но выражение в скобках — это $y^2$, поэтому:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} = y^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{x + 1}$$

Ответ:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} = y^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{x + 1}$$

b) Дано:

$$x + \frac{x}{x — 1} = y$$

Найти выражение для:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x — 1)^2}$$

Шаг 1. Используем формулу квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Положим:
$a = x$,
$b = \frac{x}{x — 1}$

Тогда:

$$\left(x + \frac{x}{x — 1}\right)^2 = x^2 + 2x \cdot \frac{x}{x — 1} + \left(\frac{x}{x — 1}\right)^2$$

Вновь распишем последний член:

$$\left(\frac{x}{x — 1}\right)^2 = \frac{x^2}{(x — 1)^2}$$

Значит:

$$y^2 = x^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{x — 1} + \frac{x^2}{(x — 1)^2}$$

Шаг 2. Теперь выразим нужное нам:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x — 1)^2} = \left[ x^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{x — 1} + \frac{x^2}{(x — 1)^2} \right] — 2 \cdot \frac{x^2}{x — 1}$$

Опять в скобках стоит $y^2$, следовательно:

$$x^2 + \frac{x^2}{(x — 1)^2} = y^2 — 2 \cdot \frac{x^2}{x — 1}$$

Ответ:

$$x^2+\frac{x^2}{(x-1{)}^2}=y^2-2\cdot \frac{x^2}{x-1}$$