ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 211 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\left( 1 — \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} — \frac{1}{n^3} \right) : \left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right);$

б) $\left( \frac{u}{v — z} + \frac{v — z}{v} — \frac{uz}{v^2 — vz} \right) : \left( \frac{u}{v — z} — \frac{v — z}{v} — \frac{uz}{v^2 — vz} \right).$

а)

$$(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}):(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})=$$

$$$$$$=(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3})\cdot n^3:(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})\cdot n^3=$$

$$$$$$=\frac{n^3-n^2+n-1}{n^3+n^2+n+1}=\frac{n^2(n-1)+(n-1)}{n^2(n+1)+(n+1)}=$$

$$$$$$=\frac{(n-1)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}=\frac{n-1}{n+1}\mathrm{.}$$

б)

$$(\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}):(\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz})=$$

$$$$$$=(\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v(v-z)})\cdot v(v-z):(\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v(v-z)})\cdot v(v-z)=$$

$$$$$$=\frac{uv+(v-z{)}^2-uz}{uv-(v-z{)}^2-uz}=\frac{uv+v^2-2vz+z^2-uz}{uv-v^2+2vz-z^2-uz}=$$

$$$$$$=\frac{uv+v^2-vz-uz+z^2}{uv-v^2+vz-z^2-uz}=\frac{v(u+v-z)-z(v-z+u)}{(z+u-v)(v-z)}=\frac{u+v-z}{u-v+z}\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}):(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})\mathrm{.}$$

Умножение числителей и знаменателей на $n^3$.
Мы умножаем числитель и знаменатель на $n^3$ для упрощения выражения. Это позволит избавиться от дробей внутри выражений:

$$(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3})\cdot n^3:(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})\cdot n^3\mathrm{.}$$

Распишем числители и знаменатели.
Теперь распишем числитель и знаменатель после умножения:

Числитель:

$$n^3(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3})=n^3-n^2+n-1.$$

Знаменатель:

$$n^3(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})=n^3+n^2+n+1.$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{n^3-n^2+n-1}{n^3+n^2+n+1}\mathrm{.}$$

Разложим числитель и знаменатель.
Теперь попробуем разложить числитель и знаменатель.

Числитель можно представить как:

$$n^2(n-1)+(n-1)\mathrm{.}$$

Знаменатель можно представить как:

$$n^2(n+1)+(n+1)\mathrm{.}$$

Запишем выражение в виде дроби.
Теперь перепишем выражение:

$$\frac{(n-1)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}\mathrm{.}$$

Сокращаем одинаковые множители.
Теперь видим, что можно сократить $(n^2+1)$ в числителе и знаменателе, получая:

$$\frac{n-1}{n+1}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$(\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}):(\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz})\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для числителя: $\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}$, общий знаменатель для всех дробей будет $v(v-z)$.

Приводим дроби:

$\frac{u}{v-z}=\frac{uv}{v(v-z)}$,

$\frac{v-z}{v}=\frac{(v-z)(v-z)}{v(v-z)}=\frac{(v-z{)}^2}{v(v-z)}$,

$-\frac{uz}{v^2-vz}=\frac{-uz}{v(v-z)}$.

Числитель становится:

$$\frac{uv+(v-z{)}^2-uz}{v(v-z)}\mathrm{.}$$

Для знаменателя: $\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}$, общий знаменатель для всех дробей будет $v(v-z)$.

Приводим дроби:

$\frac{u}{v-z}=\frac{uv}{v(v-z)}$,

$\frac{v-z}{v}=\frac{(v-z)(v-z)}{v(v-z)}=\frac{(v-z{)}^2}{v(v-z)}$,

$-\frac{uz}{v^2-vz}=\frac{-uz}{v(v-z)}$.

Знаменатель становится:

$$\frac{uv-(v-z{)}^2-uz}{v(v-z)}\mathrm{.}$$

Запишем выражение с новым числителем и знаменателем.
Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{\frac{uv+(v-z{)}^2-uz}{v(v-z)}}{\frac{uv-(v-z{)}^2-uz}{v(v-z)}}\mathrm{.}$$

Сократим общий множитель.
Сократим $v(v-z)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{uv+(v-z{)}^2-uz}{uv-(v-z{)}^2-uz}\mathrm{.}$$

Упростим числитель и знаменатель.
Раскроем и упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$uv+v^2-2vz+z^2-uz=v(u+v-z)-z(v-z+u)\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$uv-v^2+2vz-z^2-uz=(z+u-v)(v-z)\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Получаем:

$$\frac{v(u+v-z)-z(v-z+u)}{(z+u-v)(v-z)}=\frac{u+v-z}{u-v+z}$$