ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 210 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{u — \frac{u^2}{u + 1}}{\frac{u}{u + 1}};$$

б)

$$\frac{x — \frac{6x — 9}{x}}{\frac{3}{x — 1}};$$

в)

$$\frac{\frac{a — b}{a + b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a + b} + \frac{a — b}{a}};$$

г)

$$\frac{\frac{x}{x — z} — \frac{y}{y — z}}{\frac{x}{x — z} + \frac{y}{y — z}};$$

д)

$$1 — \frac{\frac{1}{1 — \frac{1}{n — 3}}};$$

е)

$$\frac{\frac{n}{n — \frac{1}{1 — \frac{1}{1 + n}}}}.$$

а)

$$\frac{u-\frac{u^2}{u+1}}{u-\frac{u}{u+1}}=\frac{(u-\frac{u^2}{u+1})\cdot (u+1)}{(u-\frac{u}{u+1})\cdot (u+1)}=\frac{u(u+1)-u^2}{u(u+1)-u}=$$

$$$$$$=\frac{u^2+u-u^2}{u^2+u-u}=\frac{u}{u^2}=\frac{1}{u}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{x-\frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x}-1}=\frac{(x-\frac{6x-9}{x})\cdot x}{(\frac{3}{x}-1)\cdot x}=\frac{x^2-6x+9}{3-x}=\frac{(3-x{)}^2}{3-x}=3-x\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a-b}{a+b}+\frac{a-b}{a}}=\frac{(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a})\cdot a(a+b)}{(\frac{a-b}{a+b}+\frac{a-b}{a})\cdot a(a+b)}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a^2+(a-b)(a+b)}=$$

$$$$$$=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a^2+a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{\frac{x}{x-z}-\frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z}-\frac{x}{y-z}}=\frac{(\frac{x}{x-z}-\frac{y}{y-z})\cdot (x-z)(y-z)}{(\frac{y}{x-z}-\frac{x}{y-z})\cdot (x-z)(y-z)}=\frac{x(y-z)-y(x-z)}{y(y-z)-x(x-z)}=$$

$$$$$$=\frac{xy-xz-yx+yz}{y^2-yz-x^2+xz}=\frac{yz-xz}{y^2-yz-x^2+xz}=\frac{z(y-x)}{(y-x)(y+x-z)}=\frac{z}{y+x-z}\mathrm{.}$$

д)

$$1-\frac{1}{1-\frac{1}{n-3}}=1-\frac{1}{\frac{n-3-1}{n-3}}=1-\frac{1}{\frac{n-4}{n-3}}=1-\frac{n-3}{n-4}=$$

$$$$$$=\frac{n-4-n+3}{n-4}=\frac{-1}{n-4}=\frac{1}{4-n}\mathrm{.}$$

е)

$$\frac{n}{n-\frac{1}{1+\frac{1}{n}}}=\frac{n}{n-\frac{1}{\frac{n+1}{n}}}=\frac{n}{n-\frac{n}{n+1}}=\frac{n}{\frac{n(n+1)-n}{n+1}}=\frac{n}{\frac{n^2+n-n}{n+1}}=$$$$=\frac{n}{\frac{n^2}{n+1}}=\frac{n(n+1)}{n^2}=\frac{n+1}{n}=\frac{n}{n-1-n}=\frac{n}{-1}=-n\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{u-\frac{u^2}{u+1}}{u-\frac{u}{u+1}}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Мы видим, что для числителя и знаменателя дроби находим общий знаменатель:

Для числителя: $u-\frac{u^2}{u+1}$, приводим к общему знаменателю $u+1$:

$$u-\frac{u^2}{u+1}=\frac{u(u+1)-u^2}{u+1}=\frac{u^2+u-u^2}{u+1}=\frac{u}{u+1}\mathrm{.}$$

Для знаменателя: $u-\frac{u}{u+1}$, приводим к общему знаменателю $u+1$:

$$u-\frac{u}{u+1}=\frac{u(u+1)-u}{u+1}=\frac{u^2+u-u}{u+1}=\frac{u^2}{u+1}\mathrm{.}$$

Запишем выражение с новым числителем и знаменателем.
Теперь, у нас выражение:

$$\frac{\frac{u}{u+1}}{\frac{u^2}{u+1}}\mathrm{.}$$

Сократим общий множитель.
Сократим $u+1$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{u}{u^2}\mathrm{.}$$

Получаем окончательное выражение.
Теперь получаем:

$$\frac{1}{u}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{x-\frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x}-1}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для числителя: $x-\frac{6x-9}{x}$, приводим к общему знаменателю $x$:

$$x-\frac{6x-9}{x}=\frac{x^2-(6x-9)}{x}=\frac{x^2-6x+9}{x}\mathrm{.}$$

Для знаменателя: $\frac{3}{x}-1$, приводим к общему знаменателю $x$:

$$\frac{3}{x}-1=\frac{3-x}{x}\mathrm{.}$$

Подставим выражения с общим знаменателем.
Теперь выражение становится:

$$\frac{\frac{x^2-6x+9}{x}}{\frac{3-x}{x}}\mathrm{.}$$

Сократим общий множитель.
Сократим $x$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x^2-6x+9}{3-x}\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Числитель можно представить как полный квадрат:

$$x^2-6x+9=(x-3{)}^2\mathrm{.}$$

Теперь выражение:

$$\frac{(x-3{)}^2}{3-x}\mathrm{.}$$

Используем свойство знака.
Так как $3-x=-(x-3)$, получаем:

$$\frac{(x-3{)}^2}{-(x-3)}=-(x-3)\mathrm{.}$$

Окончательное выражение.
Итак, окончательно:

$$3-x\mathrm{.}$$

в)

Дано выражение:

$$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a-b}{a+b}+\frac{a-b}{a}}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для числителя: $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}$, приводим к общему знаменателю $a(a+b)$:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b)a}{a(a+b)},\frac{b}{a}=\frac{b(a+b)}{a(a+b)}\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель:

$$\frac{(a-b)a+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}\mathrm{.}$$

Для знаменателя: $\frac{a-b}{a+b}+\frac{a-b}{a}$, приводим к общему знаменателю $a(a+b)$:

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b)a}{a(a+b)},\frac{a-b}{a}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$\frac{(a-b)a+(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{(a-b)(a+a+b)}{a(a+b)}=\frac{(a-b)(2a+b)}{a(a+b)}\mathrm{.}$$

Запишем выражение с новым числителем и знаменателем.
Теперь имеем:

$$\frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{(a-b)(2a+b)}{a(a+b)}}\mathrm{.}$$

Сократим общий множитель.
Сократим $a(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a^2+b^2}{(a-b)(2a+b)}\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Таким образом, окончательное выражение:

$$\frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2}\mathrm{.}$$

г)

Дано выражение:

$$\frac{\frac{x}{x-z}-\frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z}-\frac{x}{y-z}}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для числителя: $\frac{x}{x-z}-\frac{y}{y-z}$, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$:

$$\frac{x}{x-z}=\frac{x(y-z)}{(x-z)(y-z)},\frac{y}{y-z}=\frac{y(x-z)}{(x-z)(y-z)}\mathrm{.}$$

Числитель:

$$\frac{x(y-z)-y(x-z)}{(x-z)(y-z)}\mathrm{.}$$

Для знаменателя: $\frac{y}{x-z}-\frac{x}{y-z}$, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$:

$$\frac{y}{x-z}=\frac{y(y-z)}{(x-z)(y-z)},\frac{x}{y-z}=\frac{x(x-z)}{(x-z)(y-z)}\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$\frac{y(y-z)-x(x-z)}{(x-z)(y-z)}\mathrm{.}$$

Запишем выражение с новым числителем и знаменателем.
Теперь имеем:

$$\frac{x(y-z)-y(x-z)}{y(y-z)-x(x-z)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель и знаменатель.
Раскрываем и упрощаем числитель и знаменатель:

Числитель:

$$xy-xz-yx+yz=yz-xz\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$y^2-yz-x^2+xz=y^2-yz-x^2+xz\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Таким образом, имеем:

$$\frac{yz-xz}{y^2-yz-x^2+xz}=\frac{z(y-x)}{(y-x)(y+x-z)}=\frac{z}{y+x-z}\mathrm{.}$$

д)

Дано выражение:

$$1-\frac{1}{1-\frac{1}{n-3}}\mathrm{.}$$

Решаем внутреннюю дробь.
Для начала решим внутреннюю дробь:

$$1-\frac{1}{n-3}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$1-\frac{1}{n-3}=\frac{n-3-1}{n-3}=\frac{n-4}{n-3}\mathrm{.}$$

Подставляем результат в исходное выражение.
Теперь подставим это в исходное выражение:

$$1-\frac{1}{\frac{n-4}{n-3}}=1-\frac{n-3}{n-4}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю.
Приводим дробь к общему знаменателю:

$$1-\frac{n-3}{n-4}=\frac{n-4-(n-3)}{n-4}=\frac{-1}{n-4}\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Таким образом, получаем:

$$\frac{1}{4-n}\mathrm{.}$$

е)

Дано выражение:

$$\frac{n}{n-\frac{1}{1+\frac{1}{n}}}\mathrm{.}$$

Решаем внутренние дроби.
Начнем с внутренней дроби:

$$1+\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

Преобразуем:

$$1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{n}{n-\frac{1}{\frac{n+1}{n}}}=\frac{n}{n-\frac{n}{n+1}}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю.
Приводим выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$$n-\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+1)-n}{n+1}=\frac{n^2+n-n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}\mathrm{.}$$

Подставляем в выражение.
Теперь подставим в исходное выражение:

$$\frac{n}{\frac{n^2}{n+1}}=\frac{n(n+1)}{n^2}=\frac{n+1}{n}\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Получаем:

$$\frac{n}{n-1-n}=\frac{n}{-1}=-n\mathrm{.}$$