ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 21 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Приведите дроби:

а) $\frac{a}{c}$ к знаменателю $2c$; $ac$; $-c$; $c^2$; $3c^2$;

б) $\frac{x+y}{xy}$ к знаменателю $x^2y^2$; $xy^2$; $x^3y$; $2xy$; $-xy$;

в) $\frac{m}{m-n}$ к знаменателю $m(m-n)$; $m^2 — n^2$; $m^2n — mn^2$;

г) $\frac{x-1}{x+1}$ к знаменателю $(x+1)^2$; $x^2 — 1$; $x^2 + x$.

а) $\frac{a}{c}=\frac{2a}{2c}=\frac{a^2}{ac}=\frac{-a}{-c}=\frac{ac}{c^2}=\frac{3ac}{3c^2}$.

б) $\frac{x+y}{xy}=\frac{x^{2}y+x{y}^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy+y^2}{x{y}^2}=\frac{x^3+x^{2}y}{x^{3}y}=\frac{2x+2y}{2xy}=\frac{-x-y}{-xy}$.

в) $\frac{m}{m-n}=\frac{m^2}{m(m-n)}=\frac{m(m+n)}{m^2-n^2}=\frac{m^{2}n}{m^{2}n-m{n}^2}$.

г) $\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2-1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2-1}=\frac{x^2-x}{x^2+x}$.

а) Разбор равенств дробей:

$$\frac{a}{c}=\frac{2a}{2c}=\frac{a^2}{ac}=\frac{-a}{-c}=\frac{ac}{c^2}=\frac{3ac}{3c^2}\mathrm{.}$$

Начинаем с дроби $\frac{a}{c}$ — исходное выражение.

$\frac{2a}{2c}$ — числитель и знаменатель умножены на 2, сокращая 2, получаем исходную дробь:

$$\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\mathrm{.}$$

$\frac{a^2}{ac}$ — сокращаем общий множитель $a$ (при $a\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{a^2}{ac}=\frac{a\cdot a}{a\cdot c}=\frac{a}{c}\mathrm{.}$$

$\frac{-a}{-c}$ — отрицательные знаки сокращаются, дробь не меняется:

$$\frac{-a}{-c}=\frac{a}{c}\mathrm{.}$$

$\frac{ac}{c^2}$ — сокращаем общий множитель $c$ (при $c\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{ac}{c^2}=\frac{a\cdot c}{c\cdot c}=\frac{a}{c}\mathrm{.}$$

$\frac{3ac}{3c^2}$ — сокращаем 3 и $c$ (при $c\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{3ac}{3c^2}=\frac{a\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{c}}{\cancel{3}\cdot c\cdot c}=\frac{a}{c}\mathrm{.}$$

б) Разбор выражений:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{x^{2}y+x{y}^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy+y^2}{x{y}^2}=\frac{x^3+x^{2}y}{x^{3}y}=\frac{2x+2y}{2xy}=\frac{-x-y}{-xy}\mathrm{.}$$

Начинаем с $\frac{x+y}{xy}$ — исходное выражение.

$\frac{x^{2}y+x{y}^2}{x^2{y}^2}$ — в числителе можно вынести $xy$:

$$x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)\mathrm{.}$$

В знаменателе:

$$x^2{y}^2=(xy{)}^2\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\frac{xy(x+y)}{(xy{)}^2}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

$\frac{xy+y^2}{x{y}^2}$ — вынесем $y$ в числителе:

$$xy+y^2=y(x+y),$$

тогда:

$$\frac{y(x+y)}{x{y}^2}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

$\frac{x^3+x^{2}y}{x^{3}y}$ — вынесем $x^2$ в числителе:

$$x^3+x^{2}y=x^2(x+y),$$

тогда:

$$\frac{x^2(x+y)}{x^{3}y}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

$\frac{2x+2y}{2xy}$ — вынесем 2:

$$\frac{2(x+y)}{2xy}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

$\frac{-x-y}{-xy}$ — знаки сокращаются:

$$\frac{-(x+y)}{-xy}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

в) Разбор выражений:

$$\frac{m}{m-n}=\frac{m^2}{m(m-n)}=\frac{m(m+n)}{m^2-n^2}=\frac{m^{2}n}{m^{2}n-m{n}^2}\mathrm{.}$$

$\frac{m}{m-n}$ — исходное выражение.

$\frac{m^2}{m(m-n)}$ — сокращаем $m$ в числителе и знаменателе (при $m\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{m^2}{m(m-n)}=\frac{m}{m-n}\mathrm{.}$$

$\frac{m(m+n)}{m^2-n^2}$ — знаменатель раскладываем на множители:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{m}{m-n},$$

при $m+n\mathrm{\ne }0$.

$\frac{m^{2}n}{m^{2}n-m{n}^2}$ — вынесем $mn$ в знаменателе:

$$m^{2}n-m{n}^2=mn(m-n),$$

тогда:

$$\frac{m^{2}n}{mn(m-n)}=\frac{m}{m-n},$$

при $mn\mathrm{\ne }0$.

г) Разбор выражений:

$$\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2-1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2-1}=\frac{x^2-x}{x^2+x}\mathrm{.}$$

$\frac{x-1}{x+1}$ — исходное выражение.

$\frac{x^2-1}{(x+1{)}^2}$ — разложим числитель:

$$x^2-1=(x-1)(x+1)\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x-1}{x+1},$$

при $x+1\mathrm{\ne }0$.

$\frac{(x-1{)}^2}{x^2-1}$ — заменим знаменатель:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),$$

тогда:

$$\frac{(x-1{)}^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{x+1},$$

при $x-1\mathrm{\ne }0$.

$\frac{x^2-x}{x^2+x}$ — вынесем $x$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x(x-1)}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x+1},$$

при $x\mathrm{\ne }0$.

Итог: Во всех пунктах выражения равны друг другу при соблюдении условий существования (исключая деление на ноль), что подтверждается приведёнными преобразованиями и сокращениями.