ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а)

$$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{a+1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{b(a+1)+(1+a)}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{c(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{d(1+a)(1+b)(1+c)+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Общий знаменатель для всех дробей.
Каждая из дробей в выражении имеет разный знаменатель. Однако можно привести все дроби к общему знаменателю, который будет $abcd$, так как это наименьший общий знаменатель для всех дробей:

$1=\frac{abcd}{abcd}$,

$\frac{1}{a}=\frac{bcd}{abcd}$,

$\frac{1+a}{ab}=\frac{(1+a)cd}{abcd}$,

$\frac{(1+a)(1+b)}{abc}=\frac{(1+a)(1+b)d}{abcd}$,

$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}$.

Перепишем все выражения с общим знаменателем $abcd$.
Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:

$$\frac{abcd}{abcd}+\frac{bcd}{abcd}+\frac{(1+a)cd}{abcd}+\frac{(1+a)(1+b)d}{abcd}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Объединим числители всех дробей.
Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, объединим числители:

$$\frac{abcd+bcd+(1+a)cd+(1+a)(1+b)d+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Посмотрим на числитель, который можно сгруппировать и упростить. Начнем с группировки:

$$abcd+bcd+(1+a)cd+(1+a)(1+b)d+(1+a)(1+b)(1+c)\mathrm{.}$$

Приводим подобные слагаемые:

$$=(a+b+(1+a)+(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c))d\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель принимает вид:

$$=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Теперь выражение примет вид:

$$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для начала приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей будет $(1-a^2)(1+a^2)(1-a^4)$, так как это наименьший общий знаменатель для всех дробей.

Приводим дроби:

$\frac{1}{1-a}$ и $\frac{1}{1+a}$ можно привести к общему знаменателю $(1-a)(1+a)=1-a^2$,

$\frac{2}{1+a^2}$ можно оставить как есть,

$\frac{4}{1+a^4}$ можно оставить как есть.

Приводим к общему знаменателю.
Теперь комбинируем все дроби, получая общий знаменатель:

$$\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Объединяем числители.
Теперь объединим числители:

$$\frac{2}{(1-a^2)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Сокращение и упрощение.
Применяем группировку числителей, используя разность квадратов и другие алгебраические операции:

$$\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Упрощаем.
После раскрытия и упрощения числителей:

$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Приводим обе дроби к общему знаменателю и завершаем упрощение:

$$\frac{8}{1-a^8}\mathrm{.}$$