ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а)

$$1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1 + a}{abc} + \frac{(1 + a)(1 + b)}{abcd} + \frac{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}{abcd} = \frac{(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)}{abcd};$$

б)

$$\frac{1}{1 — a} + \frac{1}{1 + a} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} = \frac{8}{1 — a^8};$$

в)

$$\frac{bc}{(a — b)(a — c)} + \frac{ac}{(b — a)(b — c)} + \frac{ab}{(c — a)(c — b)} = 1.$$

а)

$$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{a+1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{b(a+1)+(1+a)}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{c(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$$$\frac{d(1+a)(1+b)(1+c)+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=$$

$$$$$$=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$$$$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$\frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$\frac{4(1+a^4)+4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)}=\frac{8}{1-a^8}$$

$$\frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-a^8}=\frac{8}{1-a^8}$$
$$\frac{8}{1-a^8}=\frac{8}{1-a^8}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$

$$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{b^{2}c-b{c}^2-a^{2}c+a{c}^2+a^{2}b-a{b}^2}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{c(b^2-a^2)-c^2(b-a)-ab(b-a)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{(b-a)(c(b+a)-c^2-ab)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{(b-a)(bc+ac-c^2-ab)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

$$-\frac{(bc+ac-c^2-ab)}{(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{c^2-bc-ac+ab}{(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{c(c-b)-a(c-b)}{(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{(c-b)(c-a)}{(a-c)(b-c)}=1$$

$$\frac{(b-c)(a-c)}{(a-c)(b-c)}=1$$$$1=1$$

а)

Дано выражение:

$$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Общий знаменатель для всех дробей.
Каждая из дробей в выражении имеет разный знаменатель. Однако можно привести все дроби к общему знаменателю, который будет $abcd$, так как это наименьший общий знаменатель для всех дробей:

$1=\frac{abcd}{abcd}$,

$\frac{1}{a}=\frac{bcd}{abcd}$,

$\frac{1+a}{ab}=\frac{(1+a)cd}{abcd}$,

$\frac{(1+a)(1+b)}{abc}=\frac{(1+a)(1+b)d}{abcd}$,

$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}$.

Перепишем все выражения с общим знаменателем $abcd$.
Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:

$$\frac{abcd}{abcd}+\frac{bcd}{abcd}+\frac{(1+a)cd}{abcd}+\frac{(1+a)(1+b)d}{abcd}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Объединим числители всех дробей.
Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, объединим числители:

$$\frac{abcd+bcd+(1+a)cd+(1+a)(1+b)d+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Посмотрим на числитель, который можно сгруппировать и упростить. Начнем с группировки:

$$abcd+bcd+(1+a)cd+(1+a)(1+b)d+(1+a)(1+b)(1+c)\mathrm{.}$$

Приводим подобные слагаемые:

$$=(a+b+(1+a)+(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c))d\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель принимает вид:

$$=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Теперь выражение примет вид:

$$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для начала приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей будет $(1-a^2)(1+a^2)(1-a^4)$, так как это наименьший общий знаменатель для всех дробей.

Приводим дроби:

$\frac{1}{1-a}$ и $\frac{1}{1+a}$ можно привести к общему знаменателю $(1-a)(1+a)=1-a^2$,

$\frac{2}{1+a^2}$ можно оставить как есть,

$\frac{4}{1+a^4}$ можно оставить как есть.

Приводим к общему знаменателю.
Теперь комбинируем все дроби, получая общий знаменатель:

$$\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Объединяем числители.
Теперь объединим числители:

$$\frac{2}{(1-a^2)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Сокращение и упрощение.
Применяем группировку числителей, используя разность квадратов и другие алгебраические операции:

$$\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Упрощаем.
После раскрытия и упрощения числителей:

$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}\mathrm{.}$$

Окончательное упрощение.
Приводим обе дроби к общему знаменателю и завершаем упрощение:

$$\frac{8}{1-a^8}$$

$$\frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

Шаг 1: Упростим числитель первого слагаемого:

$$2+2a^2+2-2a^2=4$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$$

Шаг 2: Объединяем оба слагаемых слева в одно выражение с общим знаменателем:

$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{4(1+a^4)+4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)}$$

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

$$4(1+a^4)+4(1-a^4)=4+4a^4+4-4a^4=8$$

Теперь выражение имеет вид:

$$\frac{8}{(1-a^4)(1+a^4)}=\frac{8}{1-a^8}$$

Шаг 4: Заметим, что $(1-a^4)(1+a^4)=1-a^8$. Таким образом, уравнение становится:

$$\frac{8}{1-a^8}=\frac{8}{1-a^8}$$

Это уравнение верно.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1=1}}$$

в)

Дано уравнение:

$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$

Шаг 1: Объединим все три дроби в одну. Для этого нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приводим все дроби к общему знаменателю:

$$\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 2: Раскрываем скобки в числителе:

$$bc(b-c)=b^{2}c-b{c}^2$$$$ac(a-c)=a^{2}c-a{c}^2$$$$ab(a-b)=a^{2}b-a{b}^2$$

Теперь числитель выглядит так:

$$b^{2}c-b{c}^2-a^{2}c+a{c}^2+a^{2}b-a{b}^2$$

Шаг 3: Перепишем уравнение:

$$\frac{b^{2}c-b{c}^2-a^{2}c+a{c}^2+a^{2}b-a{b}^2}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 4: Попробуем упростить числитель. Мы можем сгруппировать его следующим образом:

$$\frac{c(b^2-a^2)-c^2(b-a)-ab(b-a)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 5: Используем разложение $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$:

$$\frac{(b-a)(c(b+a)-c^2-ab)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 6: Упростим еще раз:

$$\frac{(b-a)(bc+ac-c^2-ab)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 7: Переносим числитель в другую часть уравнения:

$$-\frac{(bc+ac-c^2-ab)}{(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 8: Перепишем числитель:

$$\frac{c^2-bc-ac+ab}{(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 9: Разделим числитель на $(a-c)(b-c)$:

$$\frac{c(c-b)-a(c-b)}{(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 10: Упростим:

$$\frac{(c-b)(c-a)}{(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 11: Упрощаем дробь:

$$\frac{(b-c)(a-c)}{(a-c)(b-c)}=1$$

Шаг 12: Упростим еще раз:

$$1=1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1=1}}$$