ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 208 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а)

$$\frac{a — b}{a^2 + ab} — \frac{a + 3b}{ab + b^2} + \frac{a + b}{ab} = 0;$$

б)

$$\frac{b}{a^2 — ab} — \frac{a}{ab — b^2} + \frac{a + b}{ab} = 0.$$

а)

$$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+3b}{ab+b^2}+\frac{a+b}{ab}=0$$

$$$$$$\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+3b}{b(a+b)}+\frac{a+b}{ab}=0$$

$$$$$$\frac{b(a-b)-a(a+3b)+(a+b{)}^2}{ab(a+b)}=0$$

$$$$$$\frac{ab-b^2-a^2-3ab+a^2+2ab+b^2}{ab(a+b)}=0$$

$$$$$$\frac{0}{ab(a+b)}=0$$

$$$$$$0=0.$$

б)

$$\frac{b}{a^2-ab}-\frac{a}{ab-b^2}+\frac{a+b}{ab}=0$$

$$$$$$\frac{b}{a(a-b)}-\frac{a}{b(a-b)}+\frac{a+b}{ab}=0$$

$$$$$$\frac{b^2-a^2+(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}=0$$

$$$$$$\frac{b^2-a^2+a^2-b^2}{ab(a-b)}=0$$

$$$$$$\frac{0}{ab(a-b)}=0$$

$$$$$$0=0.$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+3b}{ab+b^2}+\frac{a+b}{ab}=0.$$

Перепишем выражения с разложением знаменателей.
Каждую дробь можно преобразовать, разлагая знаменатели на множители:

$a^2+ab=a(a+b)$,

$ab+b^2=b(a+b)$,

$ab$ остаётся как есть.

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+3b}{b(a+b)}+\frac{a+b}{ab}=0.$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для всех трех дробей общий знаменатель будет $ab(a+b)$, так как это наименьший общий знаменатель для всех дробей.

Приводим первую дробь:

$$\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{b(a-b)}{ab(a+b)}\mathrm{.}$$

Приводим вторую дробь:

$$\frac{a+3b}{b(a+b)}=\frac{a+3b}{b(a+b)}\cdot \frac{a}{a}=\frac{a(a+3b)}{ab(a+b)}\mathrm{.}$$

Третью дробь можно просто записать:

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b)(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{(a+b{)}^2}{ab(a+b)}\mathrm{.}$$

Объединим дроби.
Теперь, имея общий знаменатель, мы можем объединить все дроби:

$$\frac{b(a-b)-a(a+3b)+(a+b{)}^2}{ab(a+b)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе.
Теперь раскроем все скобки в числителе:

$b(a-b)=ab-b^2$,

$-a(a+3b)=-a^2-3ab$,

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Подставляем эти выражения в числитель:

$$ab-b^2-a^2-3ab+a^2+2ab+b^2\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Приводим подобные слагаемые:

$ab-3ab+2ab=0$,

$-b^2+b^2=0$,

$-a^2+a^2=0$.

Числитель становится:

$$0.$$

Окончательное выражение.
Таким образом, у нас получаем:

$$\frac{0}{ab(a+b)}=0.$$

И окончательно:

$$0=0.$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{b}{a^2-ab}-\frac{a}{ab-b^2}+\frac{a+b}{ab}=0.$$

Перепишем выражения с разложением знаменателей.
Каждую дробь преобразуем, разлагая знаменатели:

$a^2-ab=a(a-b)$,

$ab-b^2=b(a-b)$,

$ab$ остаётся как есть.

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{b}{a(a-b)}-\frac{a}{b(a-b)}+\frac{a+b}{ab}=0.$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для всех трех дробей общий знаменатель будет $ab(a-b)$.

Приводим первую дробь:

$$\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b^2}{ab(a-b)}\mathrm{.}$$

Приводим вторую дробь:

$$\frac{a}{b(a-b)}=\frac{a^2}{ab(a-b)}\mathrm{.}$$

Третью дробь можно просто записать:

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}=\frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}\mathrm{.}$$

Объединим дроби.
Теперь, имея общий знаменатель, можем объединить все дроби:

$$\frac{b^2-a^2+(a^2-b^2)}{ab(a-b)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Раскроем и упростим числитель:

$$b^2-a^2+a^2-b^2=0.$$

Окончательное выражение.
Таким образом, получаем:

$$\frac{0}{ab(a-b)}=0.$$

И окончательно:

$$0=0.$$