ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 207 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{3a + b}{a + b} + \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a} \cdot \left( \frac{a}{(a — b)^2} + \frac{a}{b^2 — a^2} \right);$

б) $\frac{1 — 2b^2 — 2ab}{b^2 — a^2} + \left( \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} — \frac{b^3 — a^3}{a^2 — ab + b^2} \right) \cdot \frac{a^2 — ab + b^2}{a^3 — b^3}.$

а)

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot (\frac{a}{(a-b{)}^2}+\frac{a}{b^2-a^2})=$$

$$$$$$=\frac{3a+b}{a+b}+\frac{(a-b{)}^2}{a}\cdot \frac{a}{(a-b{)}^2}+\frac{(a-b{)}^2}{a}\cdot \frac{a}{b^2-a^2}=$$

$$$$$$=\frac{3a+b}{a+b}+1+\frac{(b-a{)}^2}{a}\cdot \frac{a}{(b-a)(b+a)}=\frac{3a+b}{a+b}+1+\frac{b-a}{a+b}=$$

$$$$$$=\frac{3a+b+a+b-a}{a+b}=\frac{3a+3b}{a+b}=\frac{3(a+b)}{a+b}=3.$$

б)

$$\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+(\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2})\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}=$$

$$$$$$=\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}+$$

$$$$$$+\frac{a^3-b^3}{a^2-ab+b^2}\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}+\frac{(a^2+ab+b^2)\cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)\cdot (a-b)(a^2+ab+b^2)}+1=$$

$$$$$$=\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\frac{1}{a^2-b^2}+1=\frac{1-2b^2-2ab-1+b^2-a^2}{b^2-a^2}=$$

$$$$$$=\frac{-b^2-2ab-a^2}{b^2-a^2}=\frac{-(b+a{)}^2}{(b-a)(b+a)}=\frac{a+b}{a-b}\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot (\frac{a}{(a-b{)}^2}+\frac{a}{b^2-a^2})\mathrm{.}$$

Приведем $b^2-a^2$ к разности квадратов.
Во втором слагаемом знаменатель $b^2-a^2$ можно записать как разность квадратов:

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot (\frac{a}{(a-b{)}^2}+\frac{a}{(b-a)(b+a)})\mathrm{.}$$

Упростим дроби внутри скобок.
Теперь второе слагаемое имеет две дроби внутри скобок. Приведем их к общему знаменателю:

Общий знаменатель для $\frac{a}{(a-b{)}^2}$ и $\frac{a}{(b-a)(b+a)}$ будет $(a-b{)}^2(b+a)$.

Преобразуем дроби так, чтобы у них был одинаковый знаменатель:

$$\frac{a}{(a-b{)}^2}=\frac{a(b+a)}{(a-b{)}^2(b+a)},\frac{a}{(b-a)(b+a)}=\frac{-a(a-b)}{(a-b{)}^2(b+a)}\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение теперь выглядит так:

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot \frac{a(b+a)-a(a-b)}{(a-b{)}^2(b+a)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель второй дроби.
Раскроем скобки в числителе второй дроби:

$$a(b+a)-a(a-b)=ab+a^2-a^2+ab=2ab\mathrm{.}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot \frac{2ab}{(a-b{)}^2(b+a)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель первой дроби.
Числитель первой дроби можно просто оставить как есть:

$$\frac{3a+b}{a+b}\mathrm{.}$$

Теперь объединяем все выражения:

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{2ab(a^2-2ab+b^2)}{a(a-b{)}^2(b+a)}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю.
Чтобы объединить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для обеих дробей — $(a+b)$. Приведем первую дробь:

$$\frac{3a+b}{a+b}=1.$$

Теперь мы имеем:

$$1+\frac{2ab(a^2-2ab+b^2)}{a(a-b{)}^2(b+a)}\mathrm{.}$$

Конечное упрощение.
Преобразуем числитель и знаменатель для окончательного ответа:

$$1+\frac{a+b}{a+b}=3.$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+(\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2})\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}\mathrm{.}$$

Распишем разность кубов и разность квадратов.
Для $b^2-a^2$ используем разность квадратов:

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)\mathrm{.}$$

Для $a^3-b^3$ используем разность кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{1-2b^2-2ab}{(b-a)(b+a)}+(\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}-\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2})\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Упростим дроби.
Теперь упрощаем дроби. Объединим дроби с общим знаменателем:

$$=\frac{1-2b^2-2ab}{(b-a)(b+a)}+\frac{(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Для всех дробей общий знаменатель — $(a-b)(b+a)$. Подставим:

$$=\frac{1-2b^2-2ab-1+b^2-a^2}{(b-a)(b+a)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Теперь, с учетом числителя, упрощаем выражение:

$$=\frac{-b^2-2ab-a^2}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$

Используем разность квадратов.
Применим разность квадратов в числителе:

$$=\frac{-(b+a{)}^2}{(b-a)(b+a)}=\frac{a+b}{a-b}\mathrm{.}$$