ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 206 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{8}{(x^2 — 2)^3} + \frac{8}{(2 — x^2)^2} — \frac{2}{2 — x^2}$;

б) $\frac{a — c}{a^2 + ac + c^2} — \frac{2}{c — a} — \frac{3c^2}{a^3 — c^3}$;

в) $\frac{a^2 — 9}{a — 1} \cdot \frac{a — a^4}{3 + a} \cdot \frac{1}{(3a — a^2)^2}$;

г) $\frac{a^4 — b^4}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{1}{(b — a)^3} \cdot \frac{a^2 + b^2}{a^3 — b^3}$.

а)

$$\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8}{(2-x^2{)}^2}-\frac{2}{2-x^2}=\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8}{(x^2-2{)}^2}+\frac{2}{x^2-2}=$$

$$$$$$=\frac{8+8(x^2-2)+2(x^2-2{)}^2}{(x^2-2{)}^3}=\frac{8+8x^2-16+2(x^4-4x^2+4)}{(x^2-2{)}^3}=$$

$$$$$$=\frac{8x^2-8+2x^4-8x^2+8}{(x^2-2{)}^3}=\frac{2x^4}{(x^2-2{)}^3}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}-\frac{2}{c-a}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}=\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}+\frac{2}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}=$$

$$$$$$=\frac{(a-c{)}^2+2(a^2+ac+c^2)-3c^2}{a^3-c^3}=\frac{a^2-2ac+c^2+2a^2+2ac+2c^2-3c^2}{a^3-c^3}=$$$$=\frac{3a^2}{a^3-c^3}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{a^2-9}{a-1}\cdot \frac{a-a^4}{3+a}\cdot \frac{1}{(3a-a^2{)}^2}=\frac{(a-3)(a+3)\cdot a(1-a^3)}{(a-1)(a+3)\cdot a^2(3-a{)}^2}=$$

$$$$$$=\frac{(a-3)\cdot (-a)(a-1)(a^2+a+1)}{(a-1)\cdot a^2(a-3{)}^2}=\frac{-(a^2+a+1)}{a(a-3)}=\frac{a^2+a+1}{3a-a^2}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{1}{(b-a{)}^3}:\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}=\frac{(a^4-b^4)\cdot (a^3-b^3)}{(a^2+ab+b^2)\cdot (b-a{)}^3\cdot (a^2+b^2)}=$$

$$$$$$=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)\cdot (a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a^2+ab+b^2)\cdot (-(a-b){)}^3\cdot (a^2+b^2)}=\frac{(a^2-b^2)}{-(a-b{)}^2}=\frac{(a+b)(a-b)}{-(a-b{)}^2}=$$

$$$$$$=\frac{a+b}{-(a-b)}=\frac{a+b}{b-a}\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8}{(2-x^2{)}^2}-\frac{2}{2-x^2}\mathrm{.}$$

Изменим знак в дроби.
Обратите внимание, что $2-x^2$ можно записать как $-(x^2-2)$. Мы используем это для того, чтобы упростить дроби:

$$\frac{8}{(2-x^2{)}^2}=\frac{8}{(-(x^2-2){)}^2}=\frac{8}{(x^2-2{)}^2}\mathrm{.}$$

Теперь выражение будет:

$$\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8}{(x^2-2{)}^2}-\frac{2}{x^2-2}\mathrm{.}$$

Приведем все дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель всех трех дробей: $(x^2-2{)}^3$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8}{(x^2-2{)}^2}+\frac{2}{x^2-2}=\frac{8}{(x^2-2{)}^3}+\frac{8(x^2-2)}{(x^2-2{)}^3}+\frac{2(x^2-2{)}^2}{(x^2-2{)}^3}\mathrm{.}$$

Объединяем дроби.
Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, можем объединить их в одну:

$$\frac{8+8(x^2-2)+2(x^2-2{)}^2}{(x^2-2{)}^3}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе.
Теперь раскрываем скобки в числителе:

$8(x^2-2)=8x^2-16$,

$2(x^2-2{)}^2=2(x^4-4x^2+4)=2x^4-8x^2+8$.

Таким образом, числитель становится:

$$8+8x^2-16+2x^4-8x^2+8.$$

Упростим числитель.
Приводим подобные слагаемые:

$$8x^2-8x^2+8-16+8=0\text{и}2x^4\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель становится:

$$2x^4\mathrm{.}$$

Конечное выражение.
Подставляем упрощенный числитель в исходное выражение:

$$\frac{2x^4}{(x^2-2{)}^3}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}-\frac{2}{c-a}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}\mathrm{.}$$

Изменим знак в дроби.
Во втором слагаемом выражение $c-a$ можно записать как $-(a-c)$, то есть:

$$\frac{2}{c-a}=\frac{-2}{a-c}\mathrm{.}$$

Теперь выражение будет:

$$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}+\frac{-2}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}\mathrm{.}$$

Приведем все дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для первых двух дробей — $(a-c)$, а для всех трех дробей — $a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$. Приводим все дроби к общему знаменателю:

$$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}+\frac{-2(a^2+ac+c^2)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}-\frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}\mathrm{.}$$

Объединяем дроби.
Объединяем дроби с общим знаменателем:

$$\frac{(a-c{)}^2+2(a^2+ac+c^2)-3c^2}{a^3-c^3}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе.
Раскрываем скобки:

$(a-c{)}^2=a^2-2ac+c^2$,

$2(a^2+ac+c^2)=2a^2+2ac+2c^2$.

Таким образом, числитель становится:

$$a^2-2ac+c^2+2a^2+2ac+2c^2-3c^2\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Приводим подобные слагаемые:

$$a^2+2a^2=3a^2,c^2+2c^2-3c^2=0,-2ac+2ac=0.$$

Таким образом, числитель становится:

$$3a^2\mathrm{.}$$

Конечное выражение.
Подставляем упрощенный числитель в исходное выражение:

$$\frac{3a^2}{a^3-c^3}\mathrm{.}$$

в)

Дано выражение:

$$\frac{a^2-9}{a-1}\cdot \frac{a-a^4}{3+a}\cdot \frac{1}{(3a-a^2{)}^2}\mathrm{.}$$

Разложим выражение.
Рассмотрим разложение каждого множителя.

$a^2-9=(a-3)(a+3)$,

$a-a^4=a(1-a^3)$,

$3a-a^2=a(3-a)$.

Подставляем разложения в выражение:

$$\frac{(a-3)(a+3)\cdot a(1-a^3)}{(a-1)(a+3)\cdot a^2(3-a{)}^2}\mathrm{.}$$

Сократим.
Сокращаем $(a+3)$ и $a$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(a-3)(1-a^3)}{(a-1)a(3-a{)}^2}\mathrm{.}$$

Упростим выражение.
Преобразуем $1-a^3$ как разность кубов:

$$1-a^3=(1-a)(1+a+a^2)\mathrm{.}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{(a-3)(1-a)(1+a+a^2)}{(a-1)a(3-a{)}^2}\mathrm{.}$$

Сократим.
Сокращаем $(a-1)$ и $(3-a)=-(a-3)$:

$$\frac{-(1+a+a^2)}{a(a-3)}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{a^2+a+1}{3a-a^2}\mathrm{.}$$

г)

Дано выражение:

$$\frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{1}{(b-a{)}^3}:\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}\mathrm{.}$$

Разложим разности степеней.
Рассмотрим разложение разности четвертых и кубов:

$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$,

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a^2+ab+b^2)(b-a{)}^3}:\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Упростим выражение.
Теперь перевернем деление:

$$\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a^2+ab+b^2)(b-a{)}^3}\cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2}\mathrm{.}$$

Сократим.
Сокращаем $(a^2+b^2)$ и $(a^2+ab+b^2)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(a^2-b^2)(a-b)}{-(a-b{)}^3}\mathrm{.}$$

Преобразуем выражение.
Преобразуем $a^2-b^2$ как разность квадратов:

$$\frac{(a+b)(a-b)}{-(a-b{)}^2}\mathrm{.}$$

Сократим.
Сокращаем $(a-b)$:

$$\frac{a+b}{-(a-b)}=\frac{a+b}{b-a}\mathrm{.}$$