ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 205 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}-\frac{2}{3a-3b}$;

б) $\frac{2m^2}{m^3+n^3}-\frac{m-n}{m^2-mn+n^2}$.

а)

$$\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}-\frac{2}{3a-3b}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}-\frac{2}{3(a-b)}=$$

$$$$$$=\frac{3(a^2+b^2)-2(a^2+ab+b^2)}{3(a^3-b^3)}=\frac{3a^2+3b^2-2a^2-2ab-2b^2}{3(a^3-b^3)}=$$

$$$$$$=\frac{a^2-2ab+b^2}{3(a^3-b^3)}=\frac{(a-b{)}^2}{3(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{a-b}{3(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{2m^2}{m^3+n^3}-\frac{m-n}{m^2-mn+n^2}=\frac{2m^2-(m-n)(m+n)}{m^3+n^3}=$$

$$$$$$=\frac{2m^2-m^2+n^2}{m^3+n^3}=\frac{m^2+n^2}{m^3+n^3}\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}-\frac{2}{3a-3b}\mathrm{.}$$

Приведем второе слагаемое к общему виду.
Во втором слагаемом выделим общий множитель в знаменателе:

$$\frac{2}{3a-3b}=\frac{2}{3(a-b)}\mathrm{.}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}-\frac{2}{3(a-b)}\mathrm{.}$$

Распишем разность кубов в первом слагаемом.
Знаменатель $a^3-b^3$ является разностью кубов, которую можно разложить:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}-\frac{2}{3(a-b)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно умножить вторую дробь на $a^2+ab+b^2$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}-\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a-b)(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Объединим дроби.
Теперь, имея общий знаменатель, можем объединить дроби:

$$\frac{3(a^2+b^2)-2(a^2+ab+b^2)}{3(a^3-b^3)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе.
В числителе раскроем скобки:

$$3(a^2+b^2)-2(a^2+ab+b^2)=3a^2+3b^2-2a^2-2ab-2b^2\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Приведем подобные слагаемые:

$$3a^2+3b^2-2a^2-2ab-2b^2=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{a^2-2ab+b^2}{3(a^3-b^3)}\mathrm{.}$$

Распишем числитель как квадрат разности.
Числитель можно представить как квадрат разности:

$$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2\mathrm{.}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{(a-b{)}^2}{3(a^3-b^3)}\mathrm{.}$$

Распишем знаменатель как разность кубов.
Знаменатель $a^3-b^3$ можно представить как разность кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(a-b{)}^2}{3(a-b)(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Сократим общий множитель.
Теперь можно сократить $a-b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a-b}{3(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем окончательное выражение:

$$\frac{a-b}{3(a^2+ab+b^2)}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{2m^2}{m^3+n^3}-\frac{m-n}{m^2-mn+n^2}\mathrm{.}$$

Разложим разность кубов в первом слагаемом.
Знаменатель первого слагаемого $m^3+n^3$ является разностью кубов, которую можно разложить:

$$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\mathrm{.}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{2m^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}-\frac{m-n}{m^2-mn+n^2}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим вторую дробь на $m+n$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2m^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}-\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}\mathrm{.}$$

Объединим дроби.
Теперь, имея общий знаменатель, можем объединить дроби:

$$\frac{2m^2-(m-n)(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе.
В числителе раскроем скобки:

$$2m^2-(m-n)(m+n)=2m^2-(m^2-n^2)\mathrm{.}$$

Упростим числитель.
Приведем подобные слагаемые:

$$2m^2-(m^2-n^2)=2m^2-m^2+n^2=m^2+n^2\mathrm{.}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{m^2+n^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем окончательное выражение:

$$\frac{m^2+n^2}{m^3+n^3}\mathrm{.}$$