ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 204 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 — y^2 + ax + ay}{a^2 + xy + ax — y^2}$;

б) $\frac{m^3 + m^2 — m — 1}{m^3 — m^2 — m + 1}$;

в) $\frac{y^4 — 2y^2 + 1}{y^3 — y^2 — y + 1}$;

г) $\frac{p^3 + pq^2 — 2p^2q}{p^3 — pq^2}$;

д) $\frac{x^4 — y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4}$;

е) $\frac{x^4 — y^4}{x^3 + xy^2 — x^2y — y^3}$.

а)

$$\frac{x^2-y^2+ax+ay}{a^2+xy+ax-y^2}=\frac{(x-y)(x+y)+a(x+y)}{(a-y)(a+x)+x(a+y)}=$$

$$\frac{(x+y)(x-y+a)}{(a+y)(a-y+x)}=\frac{x+y}{a+y}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{m^3+m^2-m-1}{m^3-m^2-m+1}=\frac{m^2(m+1)-(m+1)}{m^2(m-1)-(m-1)}=\frac{(m+1)(m^2-1)}{(m-1)(m^2-1)}=\frac{m+1}{m-1}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{y^4-2y^2+1}{y^3-y^2-y+1}=\frac{(y^2-1{)}^2}{y^2(y-1)-(y-1)}=\frac{(y^2-1{)}^2}{(y-1)(y^2-1)}=\frac{y^2-1}{y-1}=$$

$$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}=y+1.$$

г)

$$\frac{p^3+p{q}^2-2p^{2}q}{p^3-p{q}^2}=\frac{p(p^2+q^2-2pq)}{p(p^2-q^2)}=\frac{p(p-q{)}^2}{p(p-q)(p+q)}=\frac{(p-q{)}^2}{(p-q)(p+q)}=\frac{p-q}{p+q}\mathrm{.}$$

д)

$$\frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}=$$

$$\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^4+2x^2{y}^2+y^4)+2xy(x^2+y^2)}=\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)}=$$

$$\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy)}=\frac{x^2-y^2}{(x+y{)}^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y{)}^2}=\frac{x-y}{x+y}\mathrm{.}$$

е)

$$\frac{x^4-y^4}{x^3+x{y}^2-x^{2}y-y^3}=\frac{x^4-y^4}{(x^3-y^3)-xy(x-y)}=\frac{x^4-y^4}{(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy(x-y)}=$$

$$\frac{x^4-y^4}{(x-y)(x^2+xy+y^2-xy)}=\frac{x^4-y^4}{(x-y)(x^2+y^2)}=\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x-y)(x^2+y^2)}$$

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y\mathrm{.}$$

а)

Дано выражение:

$$\frac{x^2-y^2+ax+ay}{a^2+xy+ax-y^2}\mathrm{.}$$

Распишем числитель.
Числитель выражения можно разобрать на два слагаемых:

$$x^2-y^2+ax+ay=(x-y)(x+y)+a(x+y)\mathrm{.}$$

Распишем знаменатель.
Знаменатель также можно преобразовать в два слагаемых:

$$a^2+xy+ax-y^2=(a-y)(a+x)+x(a+y)\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
Подставляем разложенные числитель и знаменатель:

$$\frac{(x-y)(x+y)+a(x+y)}{(a-y)(a+x)+x(a+y)}=\frac{(x+y)(x-y+a)}{(a+y)(a-y+x)}\mathrm{.}$$

Упростим дробь далее.
После упрощения выражение принимает вид:

$$\frac{x+y}{a+y}\mathrm{.}$$

б)

Дано выражение:

$$\frac{m^3+m^2-m-1}{m^3-m^2-m+1}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель из числителя.
В числителе можно выделить общий множитель $m+1$:

$$m^3+m^2-m-1=m^2(m+1)-(m+1)\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель из знаменателя.
В знаменателе можно выделить общий множитель $m-1$:

$$m^3-m^2-m+1=m^2(m-1)-(m-1)\mathrm{.}$$

Подставим разложенные выражения.
Теперь числитель и знаменатель можно записать как произведения:

$$\frac{m^2(m+1)-(m+1)}{m^2(m-1)-(m-1)}=\frac{(m+1)(m^2-1)}{(m-1)(m^2-1)}\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
После сокращения получаем:

$$\frac{m+1}{m-1}\mathrm{.}$$

в)

Дано выражение:

$$\frac{y^4-2y^2+1}{y^3-y^2-y+1}\mathrm{.}$$

Представим числитель в виде квадрата.
Числитель можно представить как квадрат разности:

$$y^4-2y^2+1=(y^2-1{)}^2\mathrm{.}$$

Разложим знаменатель.
Знаменатель можно разложить как:

$$y^3-y^2-y+1=y^2(y-1)-(y-1)=(y-1)(y^2-1)\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(y^2-1{)}^2}{(y-1)(y^2-1)}\mathrm{.}$$

Сократим.
После сокращения получаем:

$$\frac{y^2-1}{y-1}\mathrm{.}$$

Дальнейшее упрощение.
Преобразуем $y^2-1$ как произведение разности и суммы:

$$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}\mathrm{.}$$

После сокращения.
После сокращения получаем:

$$y+1.$$

г)

Дано выражение:

$$\frac{p^3+p{q}^2-2p^{2}q}{p^3-p{q}^2}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя.
В числителе и знаменателе можно вынести $p$:

$$\frac{p(p^2+q^2-2pq)}{p(p^2-q^2)}\mathrm{.}$$

Сократим $p$.
После сокращения $p$ получаем:

$$\frac{p^2+q^2-2pq}{p^2-q^2}\mathrm{.}$$

Распишем выражения как разность квадратов.
Знаменатель можно представить как разность квадратов:

$$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
Далее, числитель можно представить как квадрат разности:

$$p^2+q^2-2pq=(p-q{)}^2\mathrm{.}$$

Теперь дробь принимает вид:

$$\frac{(p-q{)}^2}{(p-q)(p+q)}\mathrm{.}$$

Сократим.
После сокращения $p-q$ получаем:

$$\frac{p-q}{p+q}\mathrm{.}$$

д)

Дано выражение:

$$\frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}\mathrm{.}$$

Представим числитель как разность квадратов.
Числитель можно представить как разность квадратов:

$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)\mathrm{.}$$

Представим знаменатель как полное квадратное выражение.
Знаменатель можно представить как полный квадрат:

$$x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4=(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)}=\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy)}\mathrm{.}$$

Сократим $x^2+y^2$.
После сокращения получаем:

$$\frac{x^2-y^2}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Применим разложение на множители.
Разлагаем числитель:

$$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Сократим $x+y$.
После сокращения $x+y$ получаем:

$$\frac{x-y}{x+y}\mathrm{.}$$

е)

Дано выражение:

$$\frac{x^4-y^4}{x^3+x{y}^2-x^{2}y-y^3}\mathrm{.}$$

Представим числитель как разность квадратов.
Числитель можно представить как разность квадратов:

$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)\mathrm{.}$$

Разложим знаменатель.
Знаменатель можно разложить как разность кубов и другие выражения:

$$x^3+x{y}^2-x^{2}y-y^3=(x^3-y^3)-xy(x-y)\mathrm{.}$$

Представим разность кубов.
Разность кубов можно представить как:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\mathrm{.}$$

Преобразуем знаменатель.
Знаменатель можно записать как:

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-xy)\mathrm{.}$$

Упростим дробь.
Теперь дробь принимает вид:

$$\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x-y)(x^2+y^2)}\mathrm{.}$$

Сократим.
После сокращения получаем:

$$\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y\mathrm{.}$$