ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 202 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Приведите дробь $\frac{a}{a^2 — b^2}$ к знаменателю:

а) $(a — b)(a + b)^2$;

б) $(a — b)^2(a + b)$;

в) $(a — b)^3(a + b)$.

а)

$$\frac{a}{a^2-b^2}=\frac{a}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)(a+b)}=\frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b{)}^2};$$

б)

$$\frac{a}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)(a-b)}=\frac{a^2-ab}{(a-b{)}^2(a+b)};$$

в)

$$\frac{a}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b{)}^2}{(a-b)(a+b)(a-b{)}^2}=\frac{a(a^2-2ab+b^2)}{(a-b{)}^3(a+b)}=$$

$$$$$$=\frac{a^3-2a^{2}b+a{b}^2}{(a-b{)}^3(a+b)}\mathrm{.}$$

а)

Исходное выражение:

$$\frac{a}{a^2-b^2}\mathrm{.}$$

Первым шагом разлагаем знаменатель $a^2-b^2$ как разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{a}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Далее, умножаем числитель и знаменатель на $a+b$:

$$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Теперь в числителе получаем:

$$a(a+b)=a^2+ab\mathrm{.}$$

Заменяем числитель в выражении:

$$\frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b{)}^2}\mathrm{.}$$

б)
Исходное выражение:

$$\frac{a}{a^2-b^2}\mathrm{.}$$

Так же, как и в предыдущем шаге, разлагаем знаменатель на разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение преобразуется в:

$$\frac{a}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Далее, умножаем числитель и знаменатель на $a-b$:

$$\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Теперь в числителе:

$$a(a-b)=a^2-ab\mathrm{.}$$

Преобразуем окончательное выражение:

$$\frac{a^2-ab}{(a-b{)}^2(a+b)}\mathrm{.}$$

в)
Исходное выражение:

$$\frac{a}{a^2-b^2}\mathrm{.}$$

Так же, как и в предыдущих шагах, разлагаем знаменатель на разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{a}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Теперь умножаем числитель и знаменатель на $(a-b{)}^2$:

$$\frac{a(a-b{)}^2}{(a-b)(a+b)(a-b{)}^2}\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$\frac{a(a^2-2ab+b^2)}{(a-b{)}^3(a+b)}\mathrm{.}$$

Теперь раскрываем числитель:

$$a(a^2-2ab+b^2)=a^3-2a^{2}b+a{b}^2\mathrm{.}$$

Таким образом, итоговое выражение:

$$\frac{a^3-2a^{2}b+a{b}^2}{(a-b{)}^3(a+b)}\mathrm{.}$$