ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 2 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Используя определение частного, докажите, что:

а) $(9x^2 — 4y^2) : (3x + 2y) = 3x — 2y$ ;

б) $(4a^2 — 20a + 25) : (2a — 5) = 2a — 5$ ;

в) $\frac{3m^3 — 6m^2 + 3m}{m^2 — 2m — 1} = 3m$ ;

г) $\frac{4a^2 — 11a — 3}{a — 3} = 4a + 1$ .

Краткий ответ:

а) Так как $(3 x - 2 y) (3 x + 2 y) = 9 x^{2} - 4 y^{2}$ ,

то $(9 x^{2} - 4 y^{2}) : (3 x + 2 y) = 3 x - 2 y$ $(9 x^{2} - 4 y^{2}) : (3 x + 2 y) = 3 x - 2 y$ — верно.

б) Так как $(2 a - 5) \cdot (2 a - 5) = (2 a - 5)^{2} = 4 a^{2} - 20 a + 25$ ,

то $(4 a^{2} - 20 a + 25) : (2 a - 5) = 2 a - 5$ $(4 a^{2} - 20 a + 25) : (2 a - 5) = 2 a - 5$ — верно.

в) Так как $3 m (m^{2} - 2 m - 1) = 3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m$ ,

то $\frac{3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m}{m^{2} - 2 m - 1} = 3 m$ $\frac{3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m}{m^{2} - 2 m - 1} = 3 m$ — верно.

г) Так как $(4 a + 1) (a - 3) = 4 a^{2} - 12 a + a - 3 = 4 a^{2} - 11 a - 3$ ,

то $\frac{4 a^{2} - 11 a - 3}{a - 3} = 4 a + 1$ $\frac{4 a^{2} - 11 a - 3}{a - 3} = 4 a + 1$ — верно.

Подробный ответ:

а) Проверим равенство:

$(9 x^{2} - 4 y^{2}) : (3 x + 2 y) = 3 x - 2 y$

Слева — деление многочлена $9 x^{2} - 4 y^{2}$ на двучлен $3 x + 2 y$ .

Вспомним формулу разности квадратов:

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Применим к выражению:

$(3 x - 2 y) (3 x + 2 y) = (3 x)^{2} - (2 y)^{2} = 9 x^{2} - 4 y^{2}$

Значит числитель — это произведение $(3 x - 2 y) (3 x + 2 y)$ .

При делении $(3 x - 2 y) (3 x + 2 y)$ на $3 x + 2 y$ сокращается множитель $3 x + 2 y$ , остаётся:

$3 x - 2 y$

Следовательно,

$\frac{9 x^{2} - 4 y^{2}}{3 x + 2 y} = 3 x - 2 y$

что и требовалось доказать.

б) Проверим равенство:

$(4 a^{2} - 20 a + 25) : (2 a - 5) = 2 a - 5$

Обратим внимание, что $4 a^{2} - 20 a + 25$ — это квадрат двучлена:

$(2 a - 5)^{2} = (2 a - 5) (2 a - 5) = 4 a^{2} - 20 a + 25$

Значит числитель равен $(2 a - 5)^{2}$ .

Делим $(2 a - 5)^{2}$ на $2 a - 5$ , сокращаем общий множитель:

$\frac{(2 a - 5)^{2}}{2 a - 5} = 2 a - 5$

Следовательно,

$\frac{4 a^{2} - 20 a + 25}{2 a - 5} = 2 a - 5$

что и подтверждает верность равенства.

в) Проверим равенство:

$\frac{3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m}{m^{2} - 2 m - 1} = 3 m$

Рассмотрим числитель: $3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m$ .

Вынесем общий множитель $3 m$ :

$3 m^{3} - 6 m^{2} - 3 m = 3 m (m^{2} - 2 m - 1)$

Тогда исходное выражение:

$\frac{3 m (m^{2} - 2 m - 1)}{m^{2} - 2 m - 1}$

При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем

$m^{2} - 2 m - 1$ :

$= 3 m$

Следовательно, равенство верно.

г) Проверим равенство:

$\frac{4 a^{2} - 11 a - 3}{a - 3} = 4 a + 1$

Проверим произведение справа: $(4 a + 1) (a - 3)$ .

Раскроем скобки:

$(4 a + 1) (a - 3) = 4 a \cdot a + 4 a \cdot (- 3) + 1 \cdot a + 1 \cdot (- 3) = 4 a^{2} - 12 a + a - 3 = 4 a^{2} - 11 a - 3$

Значит числитель равен произведению $(4 a + 1) (a - 3)$ .

Следовательно,

$\frac{4 a^{2} - 11 a - 3}{a - 3} = \frac{(4 a + 1) (a - 3)}{a - 3} = 4 a + 1$

при $a \neq 3$ .

Равенство верно.

Если подытожить, во всех четырёх пунктах проведена факторизация, выделение множителей и упрощение дробей с сокращением на общий множитель — эти приёмы доказали правильность всех данных равенств.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1