ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 197 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях $n$ можно сократить дробь:

а) $\frac{3n+1}{10}$;

б) $\frac{5n+3}{4}$;

в) $\frac{4n+2}{5}$?

a) $\frac{3n+1}{10}$;

Пусть $n=10k+r$, тогда:

$$\frac{3n+1}{10}=\frac{3(10k+r)+1}{10}=\frac{30k+3r+1}{10}=3k+\frac{3r+1}{10}\mathrm{.}$$

$r=0;1;2$.

$$\overline{)\begin{array}{cccc}r& 0& 1& 2\\ 3r+1& 1& 4& 7\\ \text{общ. дел}& \text{нет}& \text{есть}& \text{нет}\end{array}}$$

Тогда, дробь $\frac{3n+1}{10}$ сократима, при $n=10k+1$, где $k=0;1;2;3;\dots$.

б) $\frac{5n+3}{4}$;

Пусть $n=4k+r$, тогда:

$$\frac{5n+3}{4}=\frac{5(4k+r)+3}{4}=\frac{20k+5r+3}{4}=5k+\frac{5r+3}{4}\mathrm{.}$$

$r=0;1;2;3$.

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}r& 0& 1& 2& 3\\ 5r+3& 3& 8& 13& 18\\ \text{общ. дел}& \text{нет}& \text{есть}& \text{нет}& \text{есть}\end{array}}$$

Тогда, дробь $\frac{5n+3}{4}$ сократима, при $n=4k+1$ и $n=4k+3$, где $k=0;1;2;3;\dots$ (полученные формулы задают все натуральные числа, которые при делении на 4 в остатке дают 1 или 3, то есть, все нечетные числа), следовательно, можно записать $n=2k+1$, где $k=0;1;2;\dots$.

в) $\frac{4n+2}{5}$;

Пусть $n=5k+r$, тогда:

$$\frac{4n+2}{5}=\frac{4(5k+r)+2}{5}=\frac{20k+4r+2}{5}=4k+\frac{4r+2}{5}\mathrm{.}$$

$r=0;1;2;3;4$.

$$\overline{)\begin{array}{cccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4\\ 4r+2& 2& 6& 10& 14& 18\\ \text{общ. дел}& \text{нет}& \text{нет}& \text{есть}& \text{нет}& \text{нет}\end{array}}$$

Тогда, дробь $\frac{4n+2}{5}$ сократима, при $n=5k+2$, где $k=0;1;2;3;\dots$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{3n+1}{10}$$

Предположим, что $n$ имеет вид:

$$n=10k+r,\text{где }r=0,1,2,\dots ,9$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{3n+1}{10}=\frac{3(10k+r)+1}{10}=\frac{30k+3r+1}{10}$$

Разделим выражение на целую и дробную части:

$$=3k+\frac{3r+1}{10}$$

Теперь проанализируем числитель дробной части: $3r+1$ и выясним, при каких значениях $r$ числитель делится на 10 (или имеет общие делители с 10), чтобы дробь можно было сократить.

Рассмотрим возможные значения $r$ от 0 до 9. Но так как нас интересует именно ситуация, при которой дробь сократима, проверим делимость $3r+1$ с 10:

$$\overline{)\begin{array}{cc}r& 3r+1\\ 0& 1\\ 1& 4\\ 2& 7\\ 3& 10\\ 4& 13\\ 5& 16\\ 6& 19\\ 7& 22\\ 8& 25\\ 9& 28\end{array}}$$

Из таблицы видно, что $3r+1$ делится на 10 только при $r=3$, тогда:

$$\frac{3r+1}{10}=\frac{10}{10}=1$$

То есть, дробь целая и, следовательно, сократима. Это происходит, когда:

$$n=10k+3$$

Следовательно, дробь $\frac{3n+1}{10}$ сократима при $n=10k+3$, где $k\in {\mathbb{N}}_0$.

б) Исследуем дробь:

$$\frac{5n+3}{4}$$

Представим $n$ в виде:

$$n=4k+r,\text{где }r=0,1,2,3$$

Подставим:

$$\frac{5n+3}{4}=\frac{5(4k+r)+3}{4}=\frac{20k+5r+3}{4}$$

Разделим:

$$=5k+\frac{5r+3}{4}$$

Рассмотрим числитель дробной части $5r+3$:

$$\overline{)\begin{array}{cc}r& 5r+3\\ 0& 3\\ 1& 8\\ 2& 13\\ 3& 18\end{array}}$$

Проверим, какие из них делятся на 4:

• 3 — нет
• 8 — да
• 13 — нет
• 18 — да

Следовательно, при $r=1$ и $r=3$, дробь можно сократить.

Значит:

• при $n=4k+1$
• при $n=4k+3$

дробь сократима.

Числа, представимые в виде $4k+1$ и $4k+3$, — это все нечетные числа. Поэтому можно записать:

$$n=2k+1,k=0,1,2,\dots$$

Ответ: дробь $\frac{5n+3}{4}$ сократима при всех нечётных $n$.

в) Исследуем дробь:

$$\frac{4n+2}{5}$$

Пусть $n=5k+r$, где $r=0,1,2,3,4$

Подставим:

$$\frac{4n+2}{5}=\frac{4(5k+r)+2}{5}=\frac{20k+4r+2}{5}$$

Разделим:

$$=4k+\frac{4r+2}{5}$$

Проверим числитель дробной части $4r+2$ на делимость с 5:

$$\overline{)\begin{array}{cc}r& 4r+2\\ 0& 2\\ 1& 6\\ 2& 10\\ 3& 14\\ 4& 18\end{array}}$$

Из таблицы видно, что только при $r=2$, $4r+2=10$, делится на 5.

Значит, дробь сократима при $r=2$, т.е. при:

$$n=5k+2$$

где $k=0,1,2,\dots$

Окончательный вывод:

• а) дробь $\frac{3n+1}{10}$ сократима при $n=10k+3$
• б) дробь $\frac{5n+3}{4}$ сократима при нечётных $n$, то есть $n=2k+1$
• в) дробь $\frac{4n+2}{5}$ сократима при $n=5k+2$

Во всех случаях $k\in {\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$.