ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 197 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:
а) (3n+1)/10;
б) (5n+3)/4;
в) (4n+2)/5.

a) $\frac{3n + 1}{10}$;

Пусть $n = 10k + r$, тогда:

$$\frac{3n + 1}{10} = \frac{3(10k + r) + 1}{10} = \frac{30k + 3r + 1}{10} = 3k + \frac{3r + 1}{10}.$$

$r = 0; 1; 2$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 \\ \hline 3r + 1 & 1 & 4 & 7 \\ \hline \text{общ. дел} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} \\ \hline \end{array}$$

Тогда, дробь $\frac{3n + 1}{10}$ сократима, при $n = 10k + 1$, где $k = 0; 1; 2; 3; \ldots$.

б) $\frac{5n + 3}{4}$;

Пусть $n = 4k + r$, тогда:

$$\frac{5n + 3}{4} = \frac{5(4k + r) + 3}{4} = \frac{20k + 5r + 3}{4} = 5k + \frac{5r + 3}{4}.$$

$r = 0; 1; 2; 3$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5r + 3 & 3 & 8 & 13 & 18 \\ \hline \text{общ. дел} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{есть} \\ \hline \end{array}$$

Тогда, дробь $\frac{5n + 3}{4}$ сократима, при $n = 4k + 1$ и $n = 4k + 3$, где $k = 0; 1; 2; 3; \ldots$ (полученные формулы задают все натуральные числа, которые при делении на 4 в остатке дают 1 или 3, то есть, все нечетные числа), следовательно, можно записать $n = 2k + 1$, где $k = 0; 1; 2; \ldots$.

в) $\frac{4n + 2}{5}$;

Пусть $n = 5k + r$, тогда:

$$\frac{4n + 2}{5} = \frac{4(5k + r) + 2}{5} = \frac{20k + 4r + 2}{5} = 4k + \frac{4r + 2}{5}.$$

$r = 0; 1; 2; 3; 4$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 4r + 2 & 2 & 6 & 10 & 14 & 18 \\ \hline \text{общ. дел} & \text{нет} & \text{нет} & \text{есть} & \text{нет} & \text{нет} \\ \hline \end{array}$$

Тогда, дробь $\frac{4n + 2}{5}$ сократима, при $n = 5k + 2$, где $k = 0; 1; 2; 3; \ldots$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{3n + 1}{10}$$

Предположим, что $n$ имеет вид:

$$n = 10k + r,\quad \text{где } r = 0, 1, 2, \ldots, 9$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{3n + 1}{10} = \frac{3(10k + r) + 1}{10} = \frac{30k + 3r + 1}{10}$$

Разделим выражение на целую и дробную части:

$$= 3k + \frac{3r + 1}{10}$$

Теперь проанализируем числитель дробной части: $3r + 1$ и выясним, при каких значениях $r$ числитель делится на 10 (или имеет общие делители с 10), чтобы дробь можно было сократить.

Рассмотрим возможные значения $r$ от 0 до 9. Но так как нас интересует именно ситуация, при которой дробь сократима, проверим делимость $3r + 1$ с 10:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline r & 3r + 1 \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 4 \\ 2 & 7 \\ 3 & 10 \\ 4 & 13 \\ 5 & 16 \\ 6 & 19 \\ 7 & 22 \\ 8 & 25 \\ 9 & 28 \\ \hline \end{array}$$

Из таблицы видно, что $3r + 1$ делится на 10 только при $r = 3$, тогда:

$$\frac{3r + 1}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

То есть, дробь целая и, следовательно, сократима. Это происходит, когда:

$$n = 10k + 3$$

Следовательно, дробь $\frac{3n + 1}{10}$ сократима при $n = 10k + 3$, где $k \in \mathbb{N}_0$.

б) Исследуем дробь:

$$\frac{5n + 3}{4}$$

Представим $n$ в виде:

$$n = 4k + r, \quad \text{где } r = 0, 1, 2, 3$$

Подставим:

$$\frac{5n + 3}{4} = \frac{5(4k + r) + 3}{4} = \frac{20k + 5r + 3}{4}$$

Разделим:

$$= 5k + \frac{5r + 3}{4}$$

Рассмотрим числитель дробной части $5r + 3$:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline r & 5r + 3 \\ \hline 0 & 3 \\ 1 & 8 \\ 2 & 13 \\ 3 & 18 \\ \hline \end{array}$$

Проверим, какие из них делятся на 4:

• 3 — нет
• 8 — да
• 13 — нет
• 18 — да

Следовательно, при $r = 1$ и $r = 3$, дробь можно сократить.

Значит:

• при $n = 4k + 1$
• при $n = 4k + 3$

дробь сократима.

Числа, представимые в виде $4k + 1$ и $4k + 3$, — это все нечетные числа. Поэтому можно записать:

$$n = 2k + 1,\quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

Ответ: дробь $\frac{5n + 3}{4}$ сократима при всех нечётных $n$.

в) Исследуем дробь:

$$\frac{4n + 2}{5}$$

Пусть $n = 5k + r$, где $r = 0, 1, 2, 3, 4$

Подставим:

$$\frac{4n + 2}{5} = \frac{4(5k + r) + 2}{5} = \frac{20k + 4r + 2}{5}$$

Разделим:

$$= 4k + \frac{4r + 2}{5}$$

Проверим числитель дробной части $4r + 2$ на делимость с 5:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline r & 4r + 2 \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 6 \\ 2 & 10 \\ 3 & 14 \\ 4 & 18 \\ \hline \end{array}$$

Из таблицы видно, что только при $r = 2$, $4r + 2 = 10$, делится на 5.

Значит, дробь сократима при $r = 2$, т.е. при:

$$n = 5k + 2$$

где $k = 0, 1, 2, \ldots$

Окончательный вывод:

• а) дробь $\frac{3n + 1}{10}$ сократима при $n = 10k + 3$
• б) дробь $\frac{5n + 3}{4}$ сократима при нечётных $n$, то есть $n = 2k + 1$
• в) дробь $\frac{4n + 2}{5}$ сократима при $n = 5k + 2$

Во всех случаях $k \in \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \ldots\}$.