ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 196 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях $n$ можно сократить дробь:

а) $\frac{5}{n+3}$;

б) $\frac{7}{n+2}$;

в) $\frac{n+1}{10}$.

a)

$$\frac{2n+1}{n-1};$$

Общие делители чисел $2n+1$ и $n-1$ те же, что и у чисел:

$$(2n+1)-(n-1)=2n+1-n+1=n+2\text{и}n-1.$$

Общие делители чисел $n-1$ и $n+2$ такие же, как и у чисел:

$$(n+2)-(n-1)=n+2-n+1=3\text{и}n+2.$$

Так как число 3 — простое, то общий делитель, отличный от 1, только число 3. Тогда:

$$n=3k+1,k=1;2;3;\dots$$

б)

$$\frac{4n+3}{3n-1};$$

Общие делители чисел $4n+3$ и $3n-1$ те же, что и у чисел:

$$(4n+3)-(3n-1)=4n+3-3n+1=n+4\text{и}3n-1.$$

Общие делители чисел $3n-1$ и $n+4$ такие же, как и у чисел:

$$(3n-1)-(n+4)=3n-1-n-4=2n-5\text{и}n+4.$$

Общие делители чисел $2n-5$ и $n+4$ такие же, как и у чисел:

$$(2n-5)-(n+4)=2n-5-n-4=n-9\text{и}n+4.$$

Общие делители чисел $n-9$ и $n+4$ такие же, как и у чисел:

$$(n+4)-(n-9)=n+4-n+9=13\text{и}n+4.$$

Так как число 13 — простое, то общий делитель, отличный от 1, только число 13. Тогда:

$$n=13k-4,k=1;2;3;\dots$$

a)

Задача: Нужно найти общий делитель чисел $2n+1$ и $n-1$.

Шаг 1: Вначале рассмотрим выражение:

$$\frac{2n+1}{n-1}\mathrm{.}$$

Нам нужно найти общие делители чисел $2n+1$ и $n-1$.

Шаг 2: Используем метод вычитания для нахождения общих делителей. Сначала вычитаем $n-1$ из $2n+1$:

$$(2n+1)-(n-1)=2n+1-n+1=n+2.$$

Теперь у нас есть два числа $n+2$ и $n-1$.

Шаг 3: Вычитаем $n-1$ из $n+2$:

$$(n+2)-(n-1)=n+2-n+1=3.$$

Теперь у нас есть два числа $3$ и $n+2$.

Шаг 4: Замечаем, что 3 — простое число. Таким образом, общий делитель чисел $2n+1$ и $n-1$ может быть либо 1, либо 3.

Шаг 5: Для того чтобы общий делитель был отличен от 1, $n+2$ должно быть кратно 3, что означает, что:

$$n+2=3k\text{где }k\text{ — целое число}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Из этого получаем:

$$n=3k+1,k=1;2;3;\dots \mathrm{.}$$

Ответ: $n=3k+1$, где $k=1;2;3;\dots$.

б)

Задача: Нужно найти общий делитель чисел $4n+3$ и $3n-1$.

Шаг 1: Рассмотрим выражение:

$$\frac{4n+3}{3n-1}\mathrm{.}$$

Нам нужно найти общие делители чисел $4n+3$ и $3n-1$.

Шаг 2: Используем метод вычитания для нахождения общих делителей. Сначала вычитаем $3n-1$ из $4n+3$:

$$(4n+3)-(3n-1)=4n+3-3n+1=n+4.$$

Теперь у нас есть два числа $n+4$ и $3n-1$.

Шаг 3: Вычитаем $n+4$ из $3n-1$:

$$(3n-1)-(n+4)=3n-1-n-4=2n-5.$$

Теперь у нас есть два числа $2n-5$ и $n+4$.

Шаг 4: Вычитаем $2n-5$ из $n+4$:

$$(n+4)-(2n-5)=n+4-2n+5=-n+9.$$

Теперь у нас есть два числа $-n+9$ и $2n-5$.

Шаг 5: Вычитаем $-n+9$ из $2n-5$:

$$(2n-5)-(-n+9)=2n-5+n-9=3n-14.$$

Шаг 6: Вычитаем $3n-14$ из $-n+9$:

$$(-n+9)-(3n-14)=-n+9-3n+14=-4n+23.$$

Шаг 7: В этом случае необходимо использовать алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Ответ: $n=13k-4$, где $k=1;2;3;\dots$.