ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 193 Дорофеев, Суворова- Подробные Ответы

Найдите все целые значения n, при которых значение дроби есть число целое:
а) (2n^2+7n+3)/(2n-1);
б) (2n^3+n^2-3n-4)/(n-2);

a)

$$\frac{2n^2+7n+3}{2n-1}=n+4+\frac{7}{2n-1};$$

$2n-1$ — делитель числа 7.

$$\begin{array}{ccccc}2n-1& 1& -1& 7& -7\\ n& 1& 0& 4& -3\end{array}$$

Ответ: при $n=\{-3;0;1;4\}$.

б)

$$\frac{2n^3+n^2-3n-4}{n-2}=2n^2+5n+7+\frac{10}{n-2};$$

$n-2$ — делитель числа 10.

$$\begin{array}{ccccccccc}n-2& 1& 2& 5& 10& -1& -2& -5& -10\\ n& 3& 4& 7& 12& 1& 0& -3& -8\end{array}$$

Ответ: при $n=\{-8;-3;0;1;3;4;7;12\}$.

Дополнительное решение для $\frac{2x^3+x^2-3x-4}{x-2}$:

$$\begin{array}{rrrr}& 2x^2& +7x& +3\\ x-2& 2x^3& +x^2& -3x& -4\\ & 2x^3& -4x^2& & \\ & & 5x^2& -3x& -4\\ & & 5x^2& -10x& \\ & & & 7x& -4\\ & & & 7x& -14\\ & & & & 10\end{array}$$

Результат деления:

$$\frac{2x^3+x^2-3x-4}{x-2}=2x^2+7x+3+\frac{10}{x-2}\mathrm{.}$$

a)

Дано выражение:

$$\frac{2n^2+7n+3}{2n-1}=n+4+\frac{7}{2n-1};$$

Необходимо, чтобы $2n-1$ был делителем числа 7. Делители числа 7:

$$1,-1,7,-7$$

Рассмотрим, как приравнивание $2n-1$ к каждому из делителей приведет к решению.

$2n-1=1$

Решаем:

$$2n=2\Rightarrow n=1$$

$2n-1=-1$

Решаем:

$$2n=0\Rightarrow n=0$$

$2n-1=7$

Решаем:

$$2n=8\Rightarrow n=4$$

$2n-1=-7$

Решаем:

$$2n=-6\Rightarrow n=-3$$

Таким образом, возможные значения $n$ — это:

$$n=\{-3,0,1,4\}$$

Ответ: при $n=\{-3;0;1;4\}$.

б)

Дано выражение:

$$\frac{2n^3+n^2-3n-4}{n-2}=2n^2+5n+7+\frac{10}{n-2};$$

Необходимо, чтобы $n-2$ был делителем числа 10. Делители числа 10:

$$1,2,5,10,-1,-2,-5,-10$$

Рассмотрим, как приравнивание $n-2$ к каждому из делителей приведет к решению.

$n-2=1$

Решаем:

$$n=3$$

$n-2=2$

Решаем:

$$n=4$$

$n-2=5$

Решаем:

$$n=7$$

$n-2=10$

Решаем:

$$n=12$$

$n-2=-1$

Решаем:

$$n=1$$

$n-2=-2$

Решаем:

$$n=0$$

$n-2=-5$

Решаем:

$$n=-3$$

$n-2=-10$

Решаем:

$$n=-8$$

Таким образом, возможные значения $n$ — это:

$$n=\{-8,-3,0,1,3,4,7,12\}$$

Ответ: при $n=\{-8;-3;0;1;3;4;7;12\}$.

Дополнительное решение для $\frac{2x^3+x^2-3x-4}{x-2}$:

Выполним деление многочлена $2x^3+x^2-3x-4$ на $x-2$ с помощью столбика.

Начинаем деление. Первый член делимого $2x^3$ делим на первый член делителя $x$:

$$2x^3÷x=2x^2$$

Умножаем $2x^2$ на $x-2$:

$$2x^2\cdot (x-2)=2x^3-4x^2$$

Вычитаем из исходного многочлена:

$$(2x^3+x^2-3x-4)-(2x^3-4x^2)=5x^2-3x-4$$

Следующий шаг. Делим $5x^2$ на $x$:

$$5x^2÷x=5x$$

Умножаем $5x$ на $x-2$:

$$5x\cdot (x-2)=5x^2-10x$$

Вычитаем:

$$(5x^2-3x-4)-(5x^2-10x)=7x-4$$

Теперь делим $7x$ на $x$:

$$7x÷x=7$$

Умножаем $7$ на $x-2$:

$$7\cdot (x-2)=7x-14$$

Вычитаем:

$$(7x-4)-(7x-14)=10$$

Результат деления:

$$\frac{2x^3+x^2-3x-4}{x-2}=2x^2+7x+3+\frac{10}{x-2}\mathrm{.}$$