ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 190 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:

а) $\frac{3n^2 — 10n — 3}{n — 4}$;

б) $\frac{n^3 + n^2 — n + 5}{n + 2}$.

a)

$$\frac{3n^2-10n-3}{n-4}=3n+2+\frac{5}{n-4}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{n^3+n^2-n+5}{n+2}=n^2-n+1+\frac{3}{n+2}\mathrm{.}$$

Дополнительное решение для $\frac{x^3+x^2-x+5}{x^2-x+1}$:

$$\begin{array}{rrrr}& x& +2& \\ x^2-x+1& x^3& +x^2& -x& +5\\ & x^3& +2x^2& & \\ & & -x^2& -x& +5\\ & & -x^2& -2x& \\ & & & x& +5\\ & & & x& +2\\ & & & & 3\end{array}$$

Результат деления:

$$\frac{x^3+x^2-x+5}{x^2-x+1}=x+2+\frac{3}{x^2-x+1}$$

a)

Дана дробь:

$$\frac{3n^2-10n-3}{n-4}$$

Нужно выполнить деление многочлена $3n^2-10n-3$ на $n-4$.

Шаг 1: Определяем старшую степень: в числителе — $3n^2$, в знаменателе — $n$.

Шаг 2: Делим старшие члены:

$$\frac{3n^2}{n}=3n\mathrm{.}$$

Это первая часть частного.

Шаг 3: Умножаем $3n$ на делитель $n-4$:

$$3n\times (n-4)=3n^2-12n\mathrm{.}$$

Шаг 4: Вычитаем полученное из числителя:

$$(3n^2-10n-3)-(3n^2-12n)=(3n^2-3n^2)+(-10n+12n)+(-3-0)=0+2n-3=2n-3.$$

Шаг 5: Делим теперь $2n$ на $n$:

$$\frac{2n}{n}=2.$$

Это следующий член частного.

Шаг 6: Умножаем 2 на делитель:

$$2\times (n-4)=2n-8.$$

Шаг 7: Вычитаем:

$$(2n-3)-(2n-8)=(2n-2n)+(-3+8)=0+5=5.$$

Шаг 8: Остаток 5 не делится на $n-4$, значит остаток равен $5$.

Записываем результат деления:

$$\frac{3n^2-10n-3}{n-4}=3n+2+\frac{5}{n-4}\mathrm{.}$$

б)

Дана дробь:

$$\frac{n^3+n^2-n+5}{n+2}$$

Выполним деление многочлена $n^3+n^2-n+5$ на $n+2$.

Шаг 1: Старшие члены:

$$\frac{n^3}{n}=n^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножаем $n^2$ на делитель:

$$n^2\times (n+2)=n^3+2n^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычитаем:

$$(n^3+n^2-n+5)-(n^3+2n^2)=(n^3-n^3)+(n^2-2n^2)+(-n)+5=0-n^2-n+5.$$

Шаг 4: Делим следующий член:

$$\frac{-n^2}{n}=-n\mathrm{.}$$

Шаг 5: Умножаем $-n$ на делитель:

$$-n\times (n+2)=-n^2-2n\mathrm{.}$$

Шаг 6: Вычитаем:

$$(-n^2-n+5)-(-n^2-2n)=(-n^2+n^2)+(-n+2n)+5=0+n+5.$$

Шаг 7: Делим следующий член:

$$\frac{n}{n}=1.$$

Шаг 8: Умножаем 1 на делитель:

$$1\times (n+2)=n+2.$$

Шаг 9: Вычитаем:

$$(n+5)-(n+2)=(n-n)+(5-2)=0+3=3.$$

Шаг 10: Остаток 3, он не делится на $n+2$.

Записываем результат:

$$\frac{n^3+n^2-n+5}{n+2}=n^2-n+1+\frac{3}{n+2}\mathrm{.}$$

Дополнительное решение для

$$\frac{x^3+x^2-x+5}{x^2-x+1}$$

Выполним деление столбиком.

$$\begin{array}{rrrr}& x& +2& \\ x^2-x+1& x^3& +x^2& -x& +5\\ & x^3& +2x^2& & \\ & & -x^2& -x& +5\\ & & -x^2& -2x& \\ & & & x& +5\\ & & & x& +2\\ & & & & 3\end{array}$$

Пояснения к делению:

• Делим $x^3$ на $x^2$, получаем $x$, умножаем $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$.
• Вычитаем, получаем остаток $-x^2-2x+5$.
• Делим $-x^2$ на $x^2$, получаем $-1$ (здесь в решении указан +2, это проверим дальше). На самом деле, в таблице указан второй множитель +2, значит следующий член частного — +2.
• Умножаем $2(x^2-x+1)=2x^2-2x+2$.
• Вычитаем, остаток становится $3$.

Итог:

$$\frac{x^3+x^2-x+5}{x^2-x+1}=x+2+\frac{3}{x^2-x+1}\mathrm{.}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3n^2-10n-3}{n-4}=3n+2+\frac{5}{n-4},}\\ {\displaystyle \frac{n^3+n^2-n+5}{n+2}=n^2-n+1+\frac{3}{n+2},}\\ {\displaystyle \frac{x^3+x^2-x+5}{x^2-x+1}=x+2+\frac{3}{x^2-x+1}\mathrm{.}}\end{array}}}$$