ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 19 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Сравните значения выражения (x^2+y^2)/xy при x=-2, y=5 и при x=5, y=-2. Изменится ли данное выражение, если вместо переменной x подставить переменную y, а вместо переменной y — переменную x? Проверьте свой ответ, выполнив такую замену.
2) Выражение с двумя переменными, например x и y, называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке y вместо x и x вместо y. Какие из следующих выражений являются симметрическими: x^3+y^3, x^2-y^2 , x(x+y), xy(x+y), (x^2+y^2)/y, (x-y)^2/xy, (x+y)^2-2xy?
3) Придумайте примеры симметрических выражений.

а)$$

$\frac{x^2+y^2}{xy}$;

при $x=-2$; $y=5$:

$$\frac{(-2{)}^2+5^2}{-2\cdot 5}=\frac{4+25}{-10}=\frac{29}{-10}=-\mathrm{2.9.}$$

при $x=5$; $y=-2$:

$$\frac{5^2+(-2{)}^2}{5\cdot (-2)}=\frac{25+4}{-10}=\frac{29}{-10}=-\mathrm{2.9.}$$

Значение данного выражения не изменится:

$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2+x^2}{yx}\mathrm{.}$$

б) Симметрические выражения:

$$x^3+y^3=y^3+x^3;$$$$xy(x+y)=yx(y+x);$$$$\frac{(x-y{)}^2}{xy}=\frac{(y-x{)}^2}{yx};$$$$(x+y{)}^2-2xy=(y+x{)}^2-2yx\mathrm{.}$$

в) Еще примеры симметрических выражений:

$$\frac{(x+y{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{(y+x{)}^2}{y^2+x^2};\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{y+x}{y^2+x^2}$$

1) Выражение $\frac{x^2+y^2}{xy}$

Подробное решение при $x=-2$, $y=5$:

• Сначала вычислим числитель:

$$(-2{)}^2+5^2=4+25=29.$$

• Затем знаменатель:

$$-2\times 5=-10.$$

• Теперь вычислим дробь:

$$\frac{29}{-10}=-\mathrm{2.9.}$$

Подробное решение при $x=5$, $y=-2$:

• Числитель:

$$5^2+(-2{)}^2=25+4=29.$$

• Знаменатель:

$$5\times (-2)=-10.$$

• Значение дроби:

$$\frac{29}{-10}=-\mathrm{2.9.}$$

Вывод:

Значение выражения не меняется при замене местами $x$ и $y$, так как:

$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2+x^2}{yx}\mathrm{.}$$

2) Симметрические выражения

• $x^3+y^3=y^3+x^3$ — сумма кубов не зависит от порядка слагаемых, поэтому равенство верно.
• $xy(x+y)=yx(y+x)$ — произведение и сумма коммутативны, следовательно выражения равны.
• $\frac{(x-y{)}^2}{xy}=\frac{(y-x{)}^2}{yx}$ — так как $(x-y{)}^2=(y-x{)}^2$ и $xy=yx$, дроби равны.
• $(x+y{)}^2-2xy=(y+x{)}^2-2yx$ — квадрат суммы и произведение не зависят от порядка, следовательно равенство выполняется.

Итог: Все приведённые выражения обладают свойством симметрии: перестановка переменных $x$ и $y$ не изменяет значение выражения.

3) Еще примеры симметрических выражений:

a) $\frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{(y + x)^2}{y^2 + x^2}$

Сложение и умножение являются коммутативными операциями, поэтому выражения остаются равными:

$$\frac{(x+y{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{(y+x{)}^2}{y^2+x^2}$$

б) $\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{y + x}{y^2 + x^2}$

Точно так же, из-за симметричности сложения и умножения:

$$\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{y + x}{y^2 + x^2}$$

Заключение:
Все рассмотренные выражения симметричны относительно $x$ и $y$, что означает, что их значение не изменяется при перестановке этих переменных.