ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 169 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Отдельно имеет премиальный фонд, и к концу квартала каждому сотруднику планировалось выдать премию в размере 500 р. Но 2 сотрудника ушли из отдела, поэтому каждый получил по 700 р. Сколько рублей было в премиальном фонде?

1)

Пусть в премиальном фонде было $x$ руб. По 500 руб. получили $\frac{x}{500}$ человек, а по 700 руб. получили $\frac{x}{700}$ человек.

Составим уравнение:

$$\frac{x}{500}-\frac{x}{700}=2\mathrm{\mid }\cdot 3500$$

$$$$$$7x-5x=7000$$

$$$$$$2x=7000$$

$$$$$$x=3500\text{ (руб.)}\text{— в премиальном фонде.}$$

2)

Пусть $x$ сотрудников было сначала.

Составим уравнение:

$$500x=700(x-2)\mathrm{.}$$

Ответ: $3500$ руб.

1.

Пусть в премиальном фонде было $x$ рублей.
Это значит, что всего денег на премии — $x$ рублей.

По условию задачи:

• Каждый сотрудник получил либо 500 рублей, либо 700 рублей.
• Число сотрудников, которые получили по 500 рублей, равно $\frac{x}{500}$ (поскольку вся сумма $x$ делится на 500 рублей).
• Число сотрудников, которые получили по 700 рублей, равно $\frac{x}{700}$.

Также известно, что на 2 человека, которые получили по 500 рублей, больше, чем тех, кто получил по 700 рублей. То есть:

$$\frac{x}{500}-\frac{x}{700}=2.$$

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей. Найдём общий знаменатель для $\frac{x}{500}$ и $\frac{x}{700}$.

Минимальный общий знаменатель — это наименьшее общее кратное 500 и 700.

• Разложим на множители:
  $500=5\times 5\times 2\times 2\times 5=2^2\times 5^3$
  $700=7\times 100=7\times 2^2\times 5^2$

Наименьшее общее кратное будет:

$$2^2\times 5^3\times 7=4\times 125\times 7=3500.$$

Умножим обе части уравнения на 3500:

$$3500\cdot (\frac{x}{500}-\frac{x}{700})=3500\cdot 2.$$

Выполним умножение внутри скобок:

$$3500\cdot \frac{x}{500}-3500\cdot \frac{x}{700}=7000.$$

Выполним деления:

$$3500:500=7,$$$$3500:700=5.$$

Подставим:

$$7x-5x=7000.$$

Сложим:

$$(7-5)x=7000,$$$$2x=7000.$$

Разделим обе части на 2:

$$x=\frac{7000}{2}=3500.$$

Ответ: в премиальном фонде было 3500 рублей.

2.

Пусть сначала сотрудников было $x$ человек.

По условию, если всем сотрудникам дать по 500 рублей, то нужно $500x$ рублей.
Если же премию повысить до 700 рублей, то общее количество сотрудников уменьшится на 2 человека, и общая сумма станет:

$$700\times (x-2)\mathrm{.}$$

Поскольку в обоих случаях премиальный фонд одинаковый, составим уравнение:

$$500x=700(x-2)\mathrm{.}$$

Раскроем скобки справа:

$$500x=700x-1400.$$

Перенесём все переменные в одну сторону:

$$500x-700x=-1400,$$$$-200x=-1400.$$

Разделим обе части на -200:

$$x=\frac{-1400}{-200}=7.$$

Проверим, сколько всего денег в фонде:

$$500\times 7=3500.$$

Ответ совпадает с предыдущим — премиальный фонд составляет 3500 рублей.