ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 162 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:

а) $\frac{x^{-2} — y^{-2}}{x^{-1} + y^{-1}}$;

б) $(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})$;

в) $(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} — b^{-2})$;

г) $\frac{xy^{-1} — x^{-1}y}{x — y}$.

а)

$$(x^{-2}-y^{-2}):(x^{-1}+y^{-1})=\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-1}+y^{-1}}=\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=$$$$=\frac{\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2}}{\frac{y+x}{xy}}=\frac{(y-x)(y+x)}{x^2{y}^2}\cdot \frac{xy}{y+x}=\frac{y-x}{xy}\mathrm{.}$$

б)

$$(m+n{)}^{-1}\cdot (m^{-1}+n^{-1})=\frac{1}{m+n}\cdot (\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=$$$$=\frac{1}{m+n}\cdot \frac{n+m}{mn}=\frac{1}{mn}\mathrm{.}$$

в)

$$(a+b{)}^{-2}\cdot (a^{-2}-b^{-2})=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{(a+b{)}^2}=\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{(a+b{)}^2}=$$$$=\frac{\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}}{(a+b{)}^2}=\frac{(b-a)(b+a)}{a^2{b}^2(a+b{)}^2}=\frac{b-a}{a^2{b}^2(a+b)}\mathrm{.}$$

г)

$$(x{y}^{-1}-x^{-1}y):(x-y)=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=$$$$=\frac{(x-y)(x+y)}{xy(x-y)}=\frac{x+y}{xy}\mathrm{.}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$(x^{-2}-y^{-2}):(x^{-1}+y^{-1})=\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-1}+y^{-1}}$$

Шаг 1. Перепишем отрицательные степени как дроби:

$$=\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$

Шаг 2. Найдём общий знаменатель в числителе и сложим:

$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2}$$

Шаг 3. Найдём общий знаменатель в знаменателе:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}$$

Шаг 4. Деление дробей заменим умножением на обратную:

$$\frac{\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2}}{\frac{y+x}{xy}}=\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2}\cdot \frac{xy}{y+x}$$

Шаг 5. Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$$

Подставим:

$$=\frac{(y-x)(y+x)}{x^2{y}^2}\cdot \frac{xy}{y+x}$$

Шаг 6. Сократим $y+x$:

$$=\frac{(y-x)}{x^2{y}^2}\cdot xy=\frac{y-x}{xy}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{y-x}{xy}}}$$

б)

$$(m+n{)}^{-1}\cdot (m^{-1}+n^{-1})=\frac{1}{m+n}\cdot (\frac{1}{m}+\frac{1}{n})$$

Шаг 1. Найдём сумму дробей:

$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}$$

Шаг 2. Перепишем всё вместе:

$$=\frac{1}{m+n}\cdot \frac{n+m}{mn}$$

Шаг 3. Сократим $m+n$:

$$=\frac{1}{mn}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{mn}}}$$

в)

$$(a+b{)}^{-2}\cdot (a^{-2}-b^{-2})=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{(a+b{)}^2}$$

Шаг 1. Перепишем отрицательные степени:

$$=\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{(a+b{)}^2}$$

Шаг 2. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}$$

Шаг 3. Запишем полное выражение:

$$=\frac{\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}}{(a+b{)}^2}$$

Шаг 4. Разложим числитель:

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

Шаг 5. Подставим и упростим:

$$=\frac{(b-a)(b+a)}{a^2{b}^2(a+b{)}^2}$$

Сократим $b+a=a+b$:

$$=\frac{b-a}{a^2{b}^2(a+b)}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{b-a}{a^2{b}^2(a+b)}}}$$

г)

$$(x{y}^{-1}-x^{-1}y):(x-y)$$

Шаг 1. Перепишем с дробями:

$$=(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}):(x-y)$$

Шаг 2. Найдём разность дробей:

$$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}$$

Шаг 3. Делим дробь на выражение:

$$\frac{\frac{x^2-y^2}{xy}}{x-y}$$

Шаг 4. Разложим $x^2-y^2$:

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{xy(x-y)}$$

Сократим $x-y$:

$$=\frac{x+y}{xy}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}}$$