ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 15 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь:

1)не имеет смысла;

2)равна 0:

а) $\frac{x+y}{x^2+y^2}$;
б) $\frac{x^2+y^2}{x+y}$;
в) $\frac{x+y}{x^2-y^2}$.

а) $\frac{x+y}{x^2+y^2}=0$;

1. $x^2+y^2\mathrm{\ne }0$
   $x=y=0$.
2. $x+y=0$
   $x=-y$.
   Например:
   7 = –7.

б) $\frac{x^2+y^2}{x+y}=0$;

1. $x+y\mathrm{\ne }0$
   $x\mathrm{\ne }-y$.
   Например:
   3 ≠ –3.

в) $\frac{x+y}{x^2-y^2}=0$;

1. $x^2-y^2\mathrm{\ne }0$
   $x^2\mathrm{\ne }{y}^2$.
   Например:
   4 ≠ 4.
2. $x+y=0$
   $x=-y$.
   Например:
   5 = –5, но тогда выражение не имеет смысла, значит, таких значений нет.

а) Выражение $\frac{x+y}{x^2+y^2}=0$

1. Запишем выражение: $\frac{x+y}{x^2+y^2}=0$. Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.
2. Найдём область определения дроби. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2+y^2\mathrm{\ne }0$.
3. Поскольку $x^2\ge 0$ и $y^2\ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, сумма $x^2+y^2=0$ только тогда, когда $x=0$ и $y=0$ одновременно.
4. Значит, область определения: все $(x,y)$, кроме точки $(0,0)$.
5. Теперь решим уравнение числителя: $x+y=0$.
6. Из него следует $y=-x$.
7. Следовательно, выражение равно нулю при всех точках на прямой $y=-x$, кроме точки $(0,0)$, где выражение не определено.
8. Пример: $x=7$, $y=-7$. Тогда числитель $7+(-7)=0$, знаменатель $7^2+(-7{)}^2=49+49=98\mathrm{\ne }0$, выражение равно 0.

б) Выражение $\frac{x^2+y^2}{x+y}=0$

1. Запишем выражение: $\frac{x^2+y^2}{x+y}=0$. Для равенства нулю дроби числитель должен равняться нулю, а знаменатель не равняться нулю.
2. Определим область определения: знаменатель $x+y\mathrm{\ne }0$.
3. Решим числитель: $x^2+y^2=0$.
4. Поскольку $x^2\ge 0$ и $y^2\ge 0$, сумма равна нулю только при $x=0$ и $y=0$.
5. Проверим, принадлежит ли эта точка области определения: при $x=0$, $y=0$, знаменатель $0+0=0$, то есть выражение не определено.
6. Значит, дробь не равна нулю нигде на области определения, так как числитель не может равняться нулю при допустимых значениях.
7. Пример: $x=3$, $y=-3$ — $x+y=0$, выражение не определено.
8. Пример: $x=3$, $y=-2$ — $x+y=1\mathrm{\ne }0$, числитель $9+4=13\mathrm{\ne }0$, дробь не равна нулю.

в) Выражение $\frac{x+y}{x^2-y^2}=0$

1. Запишем выражение: $\frac{x+y}{x^2-y^2}=0$. Для равенства нулю числитель должен равняться нулю, а знаменатель не равняться нулю.
2. Определим область определения: $x^2-y^2\mathrm{\ne }0$.
3. Можно разложить знаменатель: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
4. Значит, знаменатель равен нулю, если либо $x-y=0$, либо $x+y=0$. Следовательно, область определения — все $(x,y)$, кроме точек на прямых $x=y$ и $x=-y$.
5. Решим числитель: $x+y=0$ или $y=-x$.
6. Но при $x+y=0$ знаменатель равен нулю (так как в знаменателе есть множитель $x+y$), выражение не определено.
7. Следовательно, нет значений $(x,y)$, при которых выражение равно нулю, так как при $x+y=0$ оно не определено.
8. Пример: $x=5$, $y=-5$ — числитель равен 0, но знаменатель тоже 0, выражение не имеет смысла.
9. Пример: $x=4$, $y=4$ — $x^2-y^2=0$, выражение не определено.
10. Пример: $x=3$, $y=2$ — $x+y=5\mathrm{\ne }0$, $x^2-y^2=9-4=5\mathrm{\ne }0$, дробь не равна нулю.

Итог:

• В пункте (а) выражение равно нулю при $y=-x$, кроме точки $(0,0)$.
• В пункте (б) выражение не может быть равно нулю, так как числитель равен нулю только вне области определения.
• В пункте (в) выражение не равно нулю ни при каких значениях, так как при $x+y=0$ оно не определено.