ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 138 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа $a^{-2}$ и $a^{-3}$ (рис. 1.6, §1).

а) $a>1$

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}>a^{-3}=\frac{1}{a^3}\mathrm{.}$$

б) $0<a<1$

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}<a^{-3}=\frac{1}{a^3}\mathrm{.}$$

а)

Условие:

$$a>1$$

Рассмотрим выражения:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}\text{и}{a}^{-3}=\frac{1}{a^3}$$

Задача: сравнить $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^3}$ при $a>1$.

Шаг 1: Поскольку $a>1$, $a^2$ и $a^3$ — положительные числа, при этом:

$$a^3=a^2\times a>a^2$$

Так как $a>1$, умножение на $a$ увеличивает число.

Шаг 2: Теперь сравним обратные величины:

$$\frac{1}{a^2}\text{и}\frac{1}{a^3}$$

Поскольку $a^3>a^2>0$, то:

$$\frac{1}{a^3}<\frac{1}{a^2}$$

Обратная величина у большего числа меньше.

Шаг 3: Сделаем итоговое утверждение:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}>a^{-3}=\frac{1}{a^3}$$

б)

Условие:

$$0<a<1$$

Рассмотрим те же выражения:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}\text{и}{a}^{-3}=\frac{1}{a^3}$$

Шаг 1: При $0<a<1$, степени $a^2$ и $a^3$ уменьшают число, так как возводим в положительную степень число меньше 1. При этом:

$$a^3=a^2\times a<a^2$$

Потому что $a<1$, умножение на $a$ уменьшает число.

Шаг 2: Сравним обратные величины:

$$\frac{1}{a^2}\text{и}\frac{1}{a^3}$$

Так как $a^3<a^2$, то:

$$\frac{1}{a^3}>\frac{1}{a^2}$$

Обратная величина у меньшего числа больше.

Шаг 3: Итоговое утверждение:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}<a^{-3}=\frac{1}{a^3}$$

Общий вывод:

При $a>1$ значение $a^{-2}$ больше $a^{-3}$, а при $0<a<1$ наоборот — $a^{-2}$ меньше $a^{-3}$. Это связано с поведением степеней чисел больше и меньше единицы и особенностями обратных величин.