ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 135 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите, пользуясь доказанным в предыдущем упражнении свойством:
а) (2/3)^(-3);
б) (1/4)^(-3);
в) (3/2)^(-5);
г) (7/8)^(-2);
д) (-1/3)^(-4);
е) (-2/5)^(-3);
ж) ?0,1?^(-3);
з) ?0,5?^(-2).

а)

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}\mathrm{.}$$

б)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}={\left(\frac{4}{1}\right)}^3=4^3=64.$$

в)

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{32}{243}\mathrm{.}$$

г)

$${\left(\frac{7}{8}\right)}^{-2}={\left(\frac{8}{7}\right)}^2=\frac{64}{49}=1\frac{15}{49}\mathrm{.}$$

д)

$${(-\frac{1}{3})}^{-4}\cdot {(-\frac{3}{1})}^4=3^4=81.$$

е)

$${(-\frac{2}{5})}^{-3}={(-\frac{5}{2})}^3=-\frac{125}{8}=-15\frac{5}{8}\mathrm{.}$$

ж)

$$0,1^{-3}={\left(\frac{1}{10}\right)}^{-3}={\left(\frac{10}{1}\right)}^3={10}^3=1000.$$

з)

$$0,5^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\left(\frac{2}{1}\right)}^2=2^2=4.$$

а)

Дано выражение:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}$$

Шаг 1: Отрицательная степень означает обращение дроби с положительной степенью:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$$

Шаг 2: Возводим дробь в степень 3:

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}$$

Шаг 3: Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}$$

б)

Дано выражение:

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}$$

Шаг 1: Отрицательная степень:

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}={\left(\frac{4}{1}\right)}^3$$

Шаг 2: Возводим число 4 в степень 3:

$$4^3=4\times 4\times 4=64$$

в)

Дано выражение:

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}$$

Шаг 1: Отрицательная степень:

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^5$$

Шаг 2: Возводим числитель и знаменатель в степень 5:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{2^5}{3^5}=\frac{32}{243}$$

г)

Дано выражение:

$${\left(\frac{7}{8}\right)}^{-2}$$

Шаг 1: Отрицательная степень:

$${\left(\frac{7}{8}\right)}^{-2}={\left(\frac{8}{7}\right)}^2$$

Шаг 2: Возводим в квадрат:

$${\left(\frac{8}{7}\right)}^2=\frac{8^2}{7^2}=\frac{64}{49}$$

Шаг 3: Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$\frac{64}{49}=1\frac{15}{49}$$

д)

Дано выражение:

$${(-\frac{1}{3})}^{-4}\cdot {(-\frac{3}{1})}^4$$

Шаг 1: Отрицательная степень:

$${(-\frac{1}{3})}^{-4}={(-\frac{3}{1})}^4=(-3{)}^4$$

Шаг 2: Перемножаем:

$$(-3{)}^4\cdot (-3{)}^4=(-3{)}^{4+4}=(-3{)}^8$$

Но в исходном выражении произведение равно:

$$(-3{)}^4\cdot (-3{)}^4=((-3{)}^4{)}^2$$

Что равно $3^4$ в исходном решении, значит шаг упрощён.

В исходном тексте указано:

$${(-\frac{1}{3})}^{-4}\cdot {(-\frac{3}{1})}^4=3^4=81$$

Пояснение:
Так как:

$${(-\frac{1}{3})}^{-4}=(-3{)}^4$$

Умножаем на:

$${(-\frac{3}{1})}^4=(-3{)}^4$$

Значит произведение равно:

$$(-3{)}^4\cdot (-3{)}^4=(-3{)}^8=3^8$$

Однако в исходном тексте написано $3^4=81$, значит допущена опечатка или упрощение.

е)

Дано выражение:

$${(-\frac{2}{5})}^{-3}$$

Шаг 1: Отрицательная степень:

$${(-\frac{2}{5})}^{-3}={(-\frac{5}{2})}^3$$

Шаг 2: Возводим в степень:

$${(-\frac{5}{2})}^3=\frac{-5^3}{2^3}=-\frac{125}{8}$$

Шаг 3: Преобразуем в смешанное число:

$$-\frac{125}{8}=-15\frac{5}{8}$$

ж)

Дано выражение:

$$0,1^{-3}$$

Шаг 1: Запишем десятичное число как дробь:

$$0,1=\frac{1}{10}$$

Шаг 2: Отрицательная степень:

$$0,1^{-3}={\left(\frac{1}{10}\right)}^{-3}={\left(\frac{10}{1}\right)}^3={10}^3$$

Шаг 3: Вычислим степень:

$${10}^3=1000$$

з)

Дано выражение:

$$0,5^{-2}$$

Шаг 1: Запишем десятичное число как дробь:

$$0,5=\frac{1}{2}$$

Шаг 2: Отрицательная степень:

$$0,5^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\left(\frac{2}{1}\right)}^2=2^2$$

Шаг 3: Вычислим степень:

$$2^2=4$$

Итог:

В каждом пункте используется правило:
Отрицательная степень дроби равна положительной степени обратной дроби.
Далее вычисляется степень числителя и знаменателя отдельно, после чего дробь при необходимости приводится к смешанному числу.