ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:

а) $\frac{x^2-xy+y^2-(x-y{)}^2}{x+y}$ при $x=0.3$ и $y=0.5$;

б) $\frac{m-4}{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}$ при $m=\frac{2}{3}$ и $n=-\frac{3}{4}$;

в) $\frac{(a+b{)}^2-4ab}{a+b}$ при $a=0.74$ и $b=-0.26$;

г) $\frac{cd}{2(c-d)(c+d)-(c-d{)}^2+4d^2}$ при $c=-1$ и $d=11$.

а) при $x=0,3$; $y=0,5$:

$$\frac{x^2-xy+y^2-(x-y{)}^2}{x+y}=\frac{x^2-xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{x+y}=\frac{xy}{x+y}\mathrm{.}$$

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{0,3\cdot 0,5}{0,3+0,5}=\frac{0,15}{0,8}=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}\mathrm{.}$$

б) при $m=\frac{2}{3}$; $n=-\frac{3}{4}$:

$$\frac{m-4}{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}=\frac{m-4}{m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2}=\frac{m-4}{4mn}\mathrm{.}$$

$$\frac{m-4}{4mn}=\frac{\frac{2}{3}-4}{4\cdot \frac{2}{3}\cdot (-\frac{3}{4})}=\frac{-\frac{10}{3}}{-2}=\frac{10}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

в) при $a=0,74$; $b=-0,26$:

$$\frac{(a+b{)}^2-4ab}{a+b}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a+b}=\frac{a^2-2ab+b^2}{a+b}\mathrm{.}$$

$$\frac{(a-b{)}^2}{a+b}=\frac{(0,74-(-0,26){)}^2}{0,74+(-0,26)}=\frac{1^2}{0,48}=\frac{1}{0,48}=\frac{100}{48}=\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}\mathrm{.}$$

г) при $c=-1$; $d=11$:

$$\frac{cd}{2(c-d)(c+d)-(c-d{)}^2+4d^2}=\frac{cd}{2(c^2-d^2)-c^2+2cd-d^2+4d^2}=$$

$$\frac{cd}{c^2+2cd+d^2}=\frac{cd}{(c+d{)}^2}\mathrm{.}$$

$$\frac{cd}{(c+d{)}^2}=\frac{-1\cdot 11}{(-1+11{)}^2}=\frac{-11}{{10}^2}=\frac{-11}{100}=-\mathrm{0.11.}$$

а) при $x=0,3$; $y=0,5$:

Шаг 1: Начнем с подставления значений $x=0,3$ и $y=0,5$ в выражение:

$$\frac{x^2-xy+y^2-(x-y{)}^2}{x+y}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе, сначала для выражения $(x-y{)}^2$:

$$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим это выражение в исходную дробь:

$$\frac{x^2-xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)}{x+y}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим числитель, сократив одинаковые слагаемые $x^2$ и $y^2$:

$$x^2-xy+y^2-x^2+2xy-y^2=xy\mathrm{.}$$

Шаг 5: Получаем упрощенное выражение:

$$\frac{xy}{x+y}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Теперь подставим значения $x=0,3$ и $y=0,5$ в упрощенную форму:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{0,3\cdot 0,5}{0,3+0,5}=\frac{0,15}{0,8}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Упростим дробь:

$$\frac{0,15}{0,8}=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{3}{16}\mathrm{.}$$

б) при $m=\frac{2}{3}$; $n=-\frac{3}{4}$:

Шаг 1: Подставим $m=\frac{2}{3}$ и $n=-\frac{3}{4}$ в исходное выражение:

$$\frac{m-4}{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Раскроем скобки для выражений $(m+n{)}^2$ и $(m-n{)}^2$:

$$(m+n{)}^2=m^2+2mn+n^2,$$$$(m-n{)}^2=m^2-2mn+n^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{m-4}{m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{m-4}{4mn}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Подставим $m=\frac{2}{3}$ и $n=-\frac{3}{4}$ в полученную дробь:

$$\frac{m-4}{4mn}=\frac{\frac{2}{3}-4}{4\cdot \frac{2}{3}\cdot (-\frac{3}{4})}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Преобразуем числитель:

$$\frac{2}{3}-4=\frac{2}{3}-\frac{12}{3}=\frac{-10}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Рассчитаем знаменатель:

$$4\cdot \frac{2}{3}\cdot (-\frac{3}{4})=4\cdot \frac{2}{3}\cdot (-\frac{3}{4})=-2.$$

Шаг 8: Теперь подставим числитель и знаменатель в дробь:

$$\frac{\frac{-10}{3}}{-2}=\frac{-10}{3}\cdot \frac{1}{-2}=\frac{10}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 9: Переведем в смешанное число:

$$\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{m-4}{4mn}=1\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

в) при $a=0,74$; $b=-0,26$:

Шаг 1: Подставим $a=0,74$ и $b=-0,26$ в выражение:

$$\frac{(a+b{)}^2-4ab}{a+b}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим это в выражение для числителя:

$$\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a+b}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим числитель:

$$a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}$$

Шаг 5: Получаем упрощенную форму:

$$\frac{a^2-2ab+b^2}{a+b}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Подставим значения $a=0,74$ и $b=-0,26$ в упрощенную дробь:

$$\frac{(a-b{)}^2}{a+b}=\frac{(0,74-(-0,26){)}^2}{0,74+(-0,26)}=\frac{1^2}{0,48}=\frac{1}{0,48}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Упростим дробь:

$$\frac{1}{0,48}=\frac{100}{48}=\frac{25}{12}\mathrm{.}$$

Шаг 8: Переведем в смешанное число:

$$\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{(a-b{)}^2}{a+b}=2\frac{1}{12}\mathrm{.}$$

г) при $c=-1$; $d=11$:

Шаг 1: Подставим $c=-1$ и $d=11$ в выражение:

$$\frac{cd}{2(c-d)(c+d)-(c-d{)}^2+4d^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$$2(c-d)(c+d)=2(c^2-d^2),$$$$(c-d{)}^2=c^2-2cd+d^2,$$$$4d^2=4d^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{cd}{2(c^2-d^2)-c^2+2cd-d^2+4d^2}=\frac{cd}{c^2+2cd+d^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Подставим значения $c=-1$ и $d=11$ в дробь:

$$\frac{cd}{(c+d{)}^2}=\frac{-1\cdot 11}{(-1+11{)}^2}=\frac{-11}{{10}^2}=\frac{-11}{100}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Упростим результат:

$$\frac{-11}{100}=-\mathrm{0.11.}$$

Ответ:

$$\frac{cd}{(c+d{)}^2}=-\mathrm{0.11.}$$