ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 12 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите дробь и найдите ее значение при указанных значениях переменных:
а) (x^2-xy+y^2-(x-y)^2)/(x+y) при x=0,3; y=0,5;
б) (m-4)/((m+n)^2-(m-n)^2 ) при m=2/3; n=-3/4;
в) ((a+b)^2-4ab)/(a+b) при a=0,74; b=-0,26;
г) cd/(2(c-d)(c+d)-(c-d)^2+4d^2 ) при c=-1; d=11;

а) при $x = 0,3$; $y = 0,5$:

$$\frac{x^2 — xy + y^2 — (x — y)^2}{x + y} = \frac{x^2 — xy + y^2 — x^2 + 2xy — y^2}{x + y} = \frac{xy}{x + y}.$$ $$\frac{xy}{x + y} = \frac{0,3 \cdot 0,5}{0,3 + 0,5} = \frac{0,15}{0,8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}.$$

б) при $m = \frac{2}{3}$; $n = -\frac{3}{4}$:

$$\frac{m — 4}{(m + n)^2 — (m — n)^2} = \frac{m — 4}{m^2 + 2mn + n^2 — m^2 + 2mn — n^2} = \frac{m — 4}{4mn}.$$ $$\frac{m — 4}{4mn} = \frac{\frac{2}{3} — 4}{4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{-\frac{10}{3}}{-2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}.$$

в) при $a = 0,74$; $b = -0,26$:

$$\frac{(a + b)^2 — 4ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 4ab}{a + b} = \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a + b}.$$ $$\frac{(a — b)^2}{a + b} = \frac{(0,74 — (-0,26))^2}{0,74 + (-0,26)} = \frac{1^2}{0,48} = \frac{1}{0,48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12}.$$

г) при $c = -1$; $d = 11$:

$$\frac{cd}{2(c — d)(c + d) — (c — d)^2 + 4d^2} = \frac{cd}{2(c^2 — d^2) — c^2 + 2cd — d^2 + 4d^2} = \frac{cd}{c^2 + 2cd + d^2} = \frac{cd}{(c + d)^2}.$$ $$\frac{cd}{(c + d)^2} = \frac{-1 \cdot 11}{(-1 + 11)^2} = \frac{-11}{10^2} = \frac{-11}{100} = -0.11.$$

$$\frac{2(c — d)(c + d) — (c — d)^2 + 4d^2}{cd} = \frac{2(c^2 — d^2) — c^2 + 2cd — d^2 + 4d^2}{cd} = \frac{c^2 + 2cd + d^2}{cd} = \frac{(c + d)^2}{cd} = \frac{(-1 + 11)^2}{-1 \cdot 11} = \frac{10^2}{-11} = \frac{100}{-11} = -0{,}11.$$

а) при $x = 0,3$; $y = 0,5$:

Шаг 1: Начнем с подставления значений $x = 0,3$ и $y = 0,5$ в выражение:

$$\frac{x^2 — xy + y^2 — (x — y)^2}{x + y}.$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе, сначала для выражения $(x — y)^2$:

$$(x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2.$$

Шаг 3: Подставим это выражение в исходную дробь:

$$\frac{x^2 — xy + y^2 — (x^2 — 2xy + y^2)}{x + y}.$$

Шаг 4: Упростим числитель, сократив одинаковые слагаемые $x^2$ и $y^2$:

$$x^2 — xy + y^2 — x^2 + 2xy — y^2 = xy.$$

Шаг 5: Получаем упрощенное выражение:

$$\frac{xy}{x + y}.$$

Шаг 6: Теперь подставим значения $x = 0,3$ и $y = 0,5$ в упрощенную форму:

$$\frac{xy}{x + y} = \frac{0,3 \cdot 0,5}{0,3 + 0,5} = \frac{0,15}{0,8}.$$

Шаг 7: Упростим дробь:

$$\frac{0,15}{0,8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}.$$

Ответ:

$$\frac{xy}{x + y} = \frac{3}{16}.$$

б) при $m = \frac{2}{3}$; $n = -\frac{3}{4}$:

Шаг 1: Подставим $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$ в исходное выражение:

$$\frac{m — 4}{(m + n)^2 — (m — n)^2}.$$

Шаг 2: Раскроем скобки для выражений $(m + n)^2$ и $(m — n)^2$:

$$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2,$$ $$(m — n)^2 = m^2 — 2mn + n^2.$$

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{m — 4}{m^2 + 2mn + n^2 — m^2 + 2mn — n^2}.$$

Шаг 4: Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{m — 4}{4mn}.$$

Шаг 5: Подставим $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$ в полученную дробь:

$$\frac{m — 4}{4mn} = \frac{\frac{2}{3} — 4}{4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}.$$

Шаг 6: Преобразуем числитель:

$$\frac{2}{3} — 4 = \frac{2}{3} — \frac{12}{3} = \frac{-10}{3}.$$

Шаг 7: Рассчитаем знаменатель:

$$4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -2.$$

Шаг 8: Теперь подставим числитель и знаменатель в дробь:

$$\frac{\frac{-10}{3}}{-2} = \frac{-10}{3} \cdot \frac{1}{-2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3}.$$

Шаг 9: Переведем в смешанное число:

$$\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}.$$

Ответ:

$$\frac{m — 4}{4mn} = 1 \frac{2}{3}.$$

в) при $a = 0,74$; $b = -0,26$:

Шаг 1: Подставим $a = 0,74$ и $b = -0,26$ в выражение:

$$\frac{(a + b)^2 — 4ab}{a + b}.$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Шаг 3: Подставим это в выражение для числителя:

$$\frac{a^2 + 2ab + b^2 — 4ab}{a + b}.$$

Шаг 4: Упростим числитель:

$$a^2 + 2ab + b^2 — 4ab = a^2 — 2ab + b^2.$$

Шаг 5: Получаем упрощенную форму:

$$\frac{a^2 — 2ab + b^2}{a + b}.$$

Шаг 6: Подставим значения $a = 0,74$ и $b = -0,26$ в упрощенную дробь:

$$\frac{(a — b)^2}{a + b} = \frac{(0,74 — (-0,26))^2}{0,74 + (-0,26)} = \frac{1^2}{0,48} = \frac{1}{0,48}.$$

Шаг 7: Упростим дробь:

$$\frac{1}{0,48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12}.$$

Шаг 8: Переведем в смешанное число:

$$\frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12}.$$

Ответ:

$$\frac{(a — b)^2}{a + b} = 2 \frac{1}{12}.$$

г) при $c = -1$; $d = 11$:

Шаг 1: Подставим $c = -1$ и $d = 11$ в выражение:

$$\frac{cd}{2(c — d)(c + d) — (c — d)^2 + 4d^2}.$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$$2(c — d)(c + d) = 2(c^2 — d^2),$$ $$(c — d)^2 = c^2 — 2cd + d^2,$$ $$4d^2 = 4d^2.$$

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{cd}{2(c^2 — d^2) — c^2 + 2cd — d^2 + 4d^2} = \frac{cd}{c^2 + 2cd + d^2}.$$

Шаг 4: Подставим значения $c = -1$ и $d = 11$ в дробь:

$$\frac{cd}{(c + d)^2} = \frac{-1 \cdot 11}{(-1 + 11)^2} = \frac{-11}{10^2} = \frac{-11}{100}.$$

Шаг 5: Упростим результат:

$$\frac{-11}{100} = -0.11.$$

Ответ:

$$\frac{cd}{(c + d)^2} = -0.11.$$