ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 111 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа $a$ и $a^{-1}$, если:

а) $0 < a < 1$;
б) $-1 < a < 0$;
в) $a > 1$;
г) $a < -1$.

а) $0<a<1$

$$⟹a<a^{-1};$$

Пусть $a=\frac{1}{3}$:

$$a^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.$$

б) $a>1$

$$⟹a>a^{-1};$$

Пусть $a=3$:

$$a^{-1}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

в) $-1<a<0$

$$⟹a>a^{-1};$$

Пусть $a=-\frac{1}{3}$:

$$a^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3.$$

г) $a<-1$

$$⟹a<a^{-1};$$

Пусть $a=-3$:

$$a^{-1}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

а) Случай $0<a<1$

Утверждение:

$$a<a^{-1}\mathrm{.}$$

Обоснование:
Пусть $a$ — положительное число меньше 1, например, $a=\frac{1}{3}$. Рассмотрим его обратное:

$$a^{-1}=\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

Для $a=\frac{1}{3}$:

$$a^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.$$

Сравним:

$$\frac{1}{3}<3,$$

что подтверждает неравенство.

б) Случай $a>1$

Утверждение:

$$a>a^{-1}\mathrm{.}$$

Обоснование:
Пусть $a=3$. Тогда:

$$a^{-1}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Сравним:

$$3>\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Это верно, значит неравенство выполняется.

в) Случай $-1<a<0$

Утверждение:

$$a>a^{-1}\mathrm{.}$$

Обоснование:
Пусть $a=-\frac{1}{3}$. Тогда обратное:

$$a^{-1}=\frac{1}{a}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3.$$

Сравним:

$$-\frac{1}{3}>-3,$$

что верно, так как $-\frac{1}{3}$ больше $-3$.

г) Случай $a<-1$

Утверждение:

$$a<a^{-1}\mathrm{.}$$

Обоснование:
Пусть $a=-3$. Тогда:

$$a^{-1}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Сравним:

$$-3<-\frac{1}{3},$$

что истинно.