ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 111 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа a и a^(-1),если:
а) 0 < a < 1;
б) a > 1;
в) -1 < a < 0;
г) a < -1.

а) $0 < a < 1$

$$\implies a < a^{-1};$$

Пусть $a = \frac{1}{3}$:

$$a^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$$

б) $a > 1$

$$\implies a > a^{-1};$$

Пусть $a = 3$:

$$a^{-1} = \frac{1}{3}.$$

в) $-1 < a < 0$

$$\implies a > a^{-1};$$

Пусть $a = -\frac{1}{3}$:

$$a^{-1} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3.$$

г) $a < -1$

$$\implies a < a^{-1};$$

Пусть $a = -3$:

$$a^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.$$

$$\boxed{\text{Все выражения приведены выше.}}$$

а) Случай $0 < a < 1$

Утверждение:

$$a < a^{-1}.$$

Обоснование:
Пусть $a$ — положительное число меньше 1, например, $a = \frac{1}{3}$. Рассмотрим его обратное:

$$a^{-1} = \frac{1}{a}.$$

Для $a = \frac{1}{3}$:

$$a^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$$

Сравним:

$$\frac{1}{3} < 3,$$

что подтверждает неравенство.

б) Случай $a > 1$

Утверждение:

$$a > a^{-1}.$$

Обоснование:
Пусть $a = 3$. Тогда:

$$a^{-1} = \frac{1}{3}.$$

Сравним:

$$3 > \frac{1}{3}.$$

Это верно, значит неравенство выполняется.

в) Случай $-1 < a < 0$

Утверждение:

$$a > a^{-1}.$$

Обоснование:
Пусть $a = -\frac{1}{3}$. Тогда обратное:

$$a^{-1} = \frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3.$$

Сравним:

$$-\frac{1}{3} > -3,$$

что верно, так как $-\frac{1}{3}$ больше $-3$.

г) Случай $a < -1$

Утверждение:

$$a < a^{-1}.$$

Обоснование:
Пусть $a = -3$. Тогда:

$$a^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.$$

Сравним:

$$-3 < -\frac{1}{3},$$

что истинно.

$$\boxed{ \text{Все выражения приведены выше.} }$$