ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 105 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Проверьте равенства:
а) 1/(2•4)=1/2•(1/2-1/4);
б) 1/(4•6)=1/2•(1/4-1/6);
в) 1/(3•5)=1/2•(1/3-1/5);
г) 1/(5•7)=1/2•(1/5-1/7).
Составьте еще несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.
2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:
а) 1/(3•5)+1/(5•7)+1/(7•9)+?+1/(23•25);
б) 1/a(a+2) +1/(a+2)(a+4) +?+1/(a+98)(a+100) .
Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?

1)

а)

$$\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2-1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2\cdot 4};$$

б)

$$\frac{1}{4\cdot 6}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4}-\frac{1}{6})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{3}{12}-\frac{2}{12})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{2\cdot 12}=\frac{1}{4\cdot 6};$$

в)

$$\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{5}{15}-\frac{3}{15})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}=\frac{1}{3\cdot 5};$$

г)

$$\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{7}{35}-\frac{5}{35})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{35}=\frac{1}{35}=\frac{1}{5\cdot 7}\mathrm{.}$$

Ещё примеры:

$$\frac{1}{6\cdot 8}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{6}-\frac{1}{8})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{4}{24}-\frac{3}{24})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{48}=\frac{1}{6\cdot 8};$$$$\frac{1}{7\cdot 9}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{7}-\frac{1}{9})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{9}{63}-\frac{7}{63})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{63}=\frac{1}{63}=\frac{1}{7\cdot 9}\mathrm{.}$$$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n(n+2)}\mathrm{.}$$

2)

а)

$$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\cdots +\frac{1}{23\cdot 25}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+$$$$+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\cdots +\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{23}-\frac{1}{25})=$$$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{23}-\frac{1}{25})=$$$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{25})=\frac{1}{2}\cdot \frac{25-3}{75}=\frac{1}{2}\cdot \frac{22}{75}=\frac{11}{75}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots +\frac{1}{(a+98)(a+100)}=$$$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+4}+\cdots +\frac{1}{a+98}-\frac{1}{a+100})=$$$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+100})=\frac{1}{2}\cdot \frac{a+100-a}{a(a+100)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{100}{a(a+100)}=\frac{50}{a(a+100)}$$

)

а)

Выражаем $\frac{1}{2\cdot 4}$:

$$\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}\mathrm{.}$$

Далее докажем, что это равно:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\mathrm{.}$$

Шаг 1. Найдем разность дробей внутри скобок с общим знаменателем:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Умножим на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}\mathrm{.}$$

Сравним:

$$\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\mathrm{.}$$

б)

Выражаем $\frac{1}{4\cdot 6}=\frac{1}{24}$:

Проверяем равенство:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4}-\frac{1}{6})\mathrm{.}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{24}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\frac{1}{4\cdot 6}=\frac{1}{24}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4}-\frac{1}{6})\mathrm{.}$$

в)

Выражаем $\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{15}$:

Проверяем равенство:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\mathrm{.}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}\mathrm{.}$$

г)

Выражаем $\frac{1}{5\cdot 7}=\frac{1}{35}$:

Проверяем равенство:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})\mathrm{.}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{35}=\frac{1}{35}\mathrm{.}$$

Ещё примеры:

$$\frac{1}{6\cdot 8}=\frac{1}{48}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{6}-\frac{1}{8}),$$

где

$$\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{4}{24}-\frac{3}{24}=\frac{1}{24},$$

умножая на $\frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{48}$.

$$\frac{1}{7\cdot 9}=\frac{1}{63}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}),$$

где

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{9}=\frac{9}{63}-\frac{7}{63}=\frac{2}{63},$$

умножая на $\frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{63}$.

$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}),$$

где

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)},$$

умножая на $\frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{n(n+2)}$.

2)

а)

Вычислим сумму:

$$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 9}+\cdots +\frac{1}{23\cdot 25}\mathrm{.}$$

Используем формулу из пункта 1:

$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots +\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{23}-\frac{1}{25})\mathrm{.}$$

Шаг 1. Раскроем скобки:

$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{23}-\frac{1}{25})\mathrm{.}$$

Шаг 2. Сократятся промежуточные слагаемые:

$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{25})\mathrm{.}$$

Шаг 3. Вычислим разность:

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{25}=\frac{25-3}{3\cdot 25}=\frac{22}{75}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{22}{75}=\frac{11}{75}\mathrm{.}$$

б)

Вычислим сумму:

$$\frac{1}{a(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+4)}+\cdots +\frac{1}{(a+98)(a+100)}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+4}+\cdots +\frac{1}{a+98}-\frac{1}{a+100})\mathrm{.}$$

Шаг 2. Сократятся промежуточные слагаемые:

$$=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+100})\mathrm{.}$$

Шаг 3. Вычислим разность:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+100}=\frac{a+100-a}{a(a+100)}=\frac{100}{a(a+100)}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{100}{a(a+100)}=\frac{50}{a(a+100)}$$