ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 104 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разбираем способ решения.

а)Дано: $x+\frac{1}{x}=y$. Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $y$.

б)Дано: $x-\frac{1}{x}=y$. Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $y$.

а)

Дано: $x+\frac{1}{x}=y$. Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $y$.

$${(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2};$$$$x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2=y^2-2.$$

б)

Дано: $x-\frac{1}{x}=y$. Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $y$.

$${(x-\frac{1}{x})}^2=x^2-2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2};$$$$x^2+\frac{1}{x^2}={(x-\frac{1}{x})}^2+2=y^2+2.$$

а)

Дано:

$$x+\frac{1}{x}=y\mathrm{.}$$

Нужно выразить через $y$ выражение:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Возьмём квадрат выражения $x+\frac{1}{x}$:

$${(x+\frac{1}{x})}^2={\left(x\right)}^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2. Вычислим каждый член:

• ${\left(x\right)}^2=x^2$,
• $2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=2$ (так как $x$ и $\frac{1}{x}$ сокращаются),
• ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2=\frac{1}{x^2}$.

Шаг 3. Запишем сумму:

$${(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Отсюда выражаем нужное:

$$x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2.$$

Шаг 5. Подставляем $y=x+\frac{1}{x}$:

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2}}\mathrm{.}$$

б)

Дано:

$$x-\frac{1}{x}=y\mathrm{.}$$

Нужно выразить через $y$ выражение:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Возьмём квадрат выражения $x-\frac{1}{x}$:

$${(x-\frac{1}{x})}^2={\left(x\right)}^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2. Вычислим каждый член:

• ${\left(x\right)}^2=x^2$,
• $-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=-2$,
• ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2=\frac{1}{x^2}$.

Шаг 3. Запишем сумму:

$${(x-\frac{1}{x})}^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Отсюда выражаем нужное:

$$x^2+\frac{1}{x^2}={(x-\frac{1}{x})}^2+2.$$

Шаг 5. Подставляем $y=x-\frac{1}{x}$:

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2.$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2}}$$