ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 103 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (1-z-2z/(z-1)) :(1/z+z)•(1/z-1/z^3 );
б) (a-5+(a^2+7)/(a+5))•(a/(a-3)-a/(a+3)) :6a/(25-a^2 );
в) (a^3-b^3)/(2a+2b)•((a+b)/(a-b)+(a-b)/(a+b)) :(a^2+ab+b^2)/(a+b)^2 ;
г) 1/(x+y)+(x^2+y^2-xy)/(y^2-x^2 )•(xy-y^2)/(x^3+y^3 )-1/(x+y)^2 .

а)

$$(1-z-\frac{2z}{z-1}):(\frac{1}{z}\cdot (\frac{1}{z}-\frac{1}{z^3}))=$$

$$=\frac{(1-z)(z-1)-2z}{z-1}:\frac{1+z^2}{z}\cdot \frac{z^2-1}{z^3}=\frac{-1+2z-z^2-2z}{z-1}\cdot \frac{z}{1+z^2}\mathrm{.}$$

$$\frac{z^2-1}{z^3}=\frac{-(1+z^2)\cdot z\cdot (z^2-1)}{(z-1)\cdot (1+z^2)\cdot z^3}=\frac{-(z^2-1)}{(z-1)\cdot z^2}=\frac{-(z-1)(z+1)}{(z-1)\cdot z^2}=$$

$$=\frac{-(z+1)}{z^2}=-\frac{z+1}{z^2}\mathrm{.}$$

б)

$$(a-5+\frac{a^2+7}{a+5})\cdot (\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}):\frac{6a}{25-a^2}=$$

$$=\frac{(a-5)(a+5)+a^2+7}{a+5}\cdot \frac{a(a+3)-a(a-3)}{(a-3)(a+3)}\cdot \frac{25-a^2}{6a}=$$

$$=\frac{a^2-25+a^2+7}{a+5}\cdot \frac{a^2+3a-a^2+3a}{(a-3)(a+3)}\cdot \frac{25-a^2}{6a}=$$

$$=\frac{2a^2-18}{a+5}\cdot \frac{6a}{(a-3)(a+3)}\cdot \frac{25-a^2}{6a}=\frac{2(a^2-9)\cdot 6a\cdot (25-a^2)}{(a+5)\cdot (a^2-9)\cdot 6a}=$$

$$=\frac{2(25-a^2)}{a+5}=\frac{2(5-a)(5+a)}{a+5}=2(5-a)=10-2a\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\cdot (\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}):\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b{)}^2}=\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\mathrm{.}$$

$$\frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{(a+b{)}^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\mathrm{.}$$

$$\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{(a^2-b^2)}\cdot \frac{(a+b{)}^2}{a^2+ab+b^2}=$$

$$=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)\cdot 2(a^2+b^2)\cdot (a+b{)}^2}{(2a+2b)\cdot (a^2-b^2)\cdot (a^2+ab+b^2)}=$$

$$=\frac{(a-b)\cdot 2(a^2+b^2)\cdot (a+b{)}^2}{2(a+b)\cdot (a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)}=a^2+b^2\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3}-\frac{1}{(x+y{)}^2}=$$

$$=\frac{1}{x+y}+\frac{(x^2-xy+y^2)\cdot y(x-y)}{(y-x)(y+x)\cdot (x+y)(x^2-xy+y^2)}-\frac{1}{(x+y{)}^2}=$$

$$=\frac{1}{x+y}-\frac{y}{(x+y{)}^2}-\frac{1}{(x+y{)}^2}=\frac{x+y-y-1}{(x+y{)}^2}=\frac{x-1}{(x+y{)}^2}$$

а)

$$(1-z-\frac{2z}{z-1}):(\frac{1}{z}\cdot (\frac{1}{z}-\frac{1}{z^3}))$$

Шаг 1: Приведём выражение в скобках в числителе к общему виду:

$$1-z-\frac{2z}{z-1}=\frac{(1-z)(z-1)}{z-1}-\frac{2z}{z-1}=\frac{(1-z)(z-1)-2z}{z-1}\mathrm{.}$$

Это сложение дробей с одинаковым знаменателем $z-1$.

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

$$(1-z)(z-1)=1\cdot z-1\cdot 1-z\cdot z+z\cdot 1=z-1-z^2+z=-1+2z-z^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем обратно:

$$\frac{-1+2z-z^2-2z}{z-1}=\frac{-1+2z-z^2-2z}{z-1}=\frac{-1-z^2}{z-1}\mathrm{.}$$

(Поскольку $2z-2z=0$).

Шаг 4: Рассмотрим выражение в знаменателе:

$$\frac{1}{z}\cdot (\frac{1}{z}-\frac{1}{z^3})=\frac{1}{z}\cdot \frac{z^3-1}{z^3}\mathrm{.}$$Шаг 5: Упростим числитель:

$$\frac{1}{z}\cdot \frac{z^3-1}{z^3}=\frac{z^3-1}{z^4}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Теперь исходное выражение можно переписать как дробь на дробь:

$$\frac{-1-z^2}{z-1}:\frac{z^3-1}{z^4}=\frac{-1-z^2}{z-1}\cdot \frac{z^4}{z^3-1}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Разложим $z^3-1$ по формуле разности кубов:

$$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)\mathrm{.}$$

Шаг 8: Подставим обратно:

$$\frac{-1-z^2}{z-1}\cdot \frac{z^4}{(z-1)(z^2+z+1)}=\frac{(-1-z^2)\cdot z^4}{(z-1{)}^2(z^2+z+1)}\mathrm{.}$$

Шаг 9: Обратим внимание, что $-1-z^2=-(1+z^2)$, значит:

$$=\frac{-(1+z^2)\cdot z^4}{(z-1{)}^2(z^2+z+1)}\mathrm{.}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{-(1+z^2)z^4}{(z-1{)}^2(z^2+z+1)}\mathrm{.}}}$$

б)

$$(a-5+\frac{a^2+7}{a+5})\cdot (\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}):\frac{6a}{25-a^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Приведём первое выражение к общему знаменателю:

$$a-5=\frac{(a-5)(a+5)}{a+5}=\frac{a^2-25}{a+5}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Сложим с дробью:

$$\frac{a^2-25}{a+5}+\frac{a^2+7}{a+5}=\frac{a^2-25+a^2+7}{a+5}=\frac{2a^2-18}{a+5}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упростим второе выражение в скобках:

$$\frac{a}{a-3}-\frac{a}{a+3}=\frac{a(a+3)-a(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{a^2+3a-a^2+3a}{a^2-9}=\frac{6a}{a^2-9}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Напишем исходное выражение с упрощёнными частями:

$$\frac{2a^2-18}{a+5}\cdot \frac{6a}{a^2-9}:\frac{6a}{25-a^2}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную:

$$\frac{2a^2-18}{a+5}\cdot \frac{6a}{a^2-9}\cdot \frac{25-a^2}{6a}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Сократим $6a$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2a^2-18}{a+5}\cdot \frac{25-a^2}{a^2-9}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Вынесем общий множитель в числителе:

$$2a^2-18=2(a^2-9)\mathrm{.}$$

Шаг 8: Подставим обратно:

$$\frac{2(a^2-9)}{a+5}\cdot \frac{25-a^2}{a^2-9}=\frac{2(a^2-9)(25-a^2)}{(a+5)(a^2-9)}\mathrm{.}$$

Шаг 9: Сократим $a^2-9$ (при условии, что $a^2\mathrm{\ne }9$):

$$\frac{2(25-a^2)}{a+5}\mathrm{.}$$

Шаг 10: Разложим разности квадратов:

$$25-a^2=(5-a)(5+a)\mathrm{.}$$

Шаг 11: Подставим и сократим:

$$\frac{2(5-a)(5+a)}{a+5}=2(5-a)\cdot \frac{5+a}{a+5}\mathrm{.}$$

Шаг 12: Так как $5+a=a+5$, они равны, сокращаем:

$$2(5-a)\mathrm{.}$$

Шаг 13: Раскроем скобки:

$$2\cdot 5-2\cdot a=10-2a\mathrm{.}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle 10-2a}}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{a^3-b^3}{2a+2b}\cdot (\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}):\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Сложим дроби в скобках:

$$\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$$$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Сложим:

$$a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2\mathrm{.}$$

Шаг 4: Значит, сумма равна:

$$\frac{2a^2+2b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Подставим в исходное выражение:

$$\frac{a^3-b^3}{2(a+b)}\cdot \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}:\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Деление на дробь – умножение на обратную:

$$\frac{a^3-b^3}{2(a+b)}\cdot \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\cdot \frac{(a+b{)}^2}{a^2+ab+b^2}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Разложим $a^3-b^3$ и $a^2-b^2$:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Шаг 8: Подставим разложения:

$$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}\cdot \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{(a+b{)}^2}{a^2+ab+b^2}\mathrm{.}$$

Шаг 9: Сократим общие множители:

• $(a-b)$ в числителе и знаменателе,
• $a^2+ab+b^2$ в числителе и знаменателе,
• $2$ в числителе и знаменателе,
• $(a+b)$ в числителе и знаменателе.

Останется:

$$(a^2+b^2)\mathrm{.}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle a^2+b^2}}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{y^2-x^2}\cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3}-\frac{1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Перепишем дроби с учётом факторизации:

$$y^2-x^2=(y-x)(y+x),$$$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\mathrm{.}$$

Шаг 2: Запишем выражение:

$$\frac{1}{x+y}+\frac{x^2+y^2-xy}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{xy-y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}-\frac{1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: В числителе второй дроби заметим, что:

$$xy-y^2=y(x-y)\mathrm{.}$$

Шаг 4: Подставим и упростим:

$$\frac{1}{x+y}+\frac{(x^2-xy+y^2)\cdot y(x-y)}{(y-x)(y+x)(x+y)(x^2-xy+y^2)}-\frac{1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Сократим $x^2-xy+y^2$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{1}{x+y}+\frac{y(x-y)}{(y-x)(y+x)(x+y)}-\frac{1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Обратим внимание, что $(x-y)=-(y-x)$, поэтому:

$$\frac{y(x-y)}{(y-x)(y+x)(x+y)}=\frac{y\cdot (-(y-x))}{(y-x)(y+x)(x+y)}=-\frac{y}{(y+x)(x+y)}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Поскольку $y+x=x+y$, то:

$$-\frac{y}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 8: Запишем всё выражение:

$$\frac{1}{x+y}-\frac{y}{(x+y{)}^2}-\frac{1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 9: Приведём к общему знаменателю $(x+y{)}^2$:

$$\frac{(x+y)}{(x+y{)}^2}-\frac{y}{(x+y{)}^2}-\frac{1}{(x+y{)}^2}=\frac{x+y-y-1}{(x+y{)}^2}=\frac{x-1}{(x+y{)}^2}\mathrm{.}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{x-1}{(x+y{)}^2}}}$$