ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 102 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:
а) (b^2/(a^3-ab^2 )-b/(a^2-ab))•(a/(b^2+ab)-1/(a+b)) отрицательны;
б) (x^3-y^3)/(2x+2y)•(x+y)^2/(x^2+xy+y^2 ) :((x+y)/(x-y)+(x-y)/(x+y)) неотрицательны.

Краткий ответ:

а)

$(\frac{b^{2}}{a^{3} - a b^{2}} - \frac{b}{a^{2} - a b}) \cdot (\frac{a}{b^{2} + a b} - \frac{1}{a + b}) =$

$\left( \frac{b^2}{a^3 — ab^2} — \frac{b}{a^2 — ab} \right) \cdot \left( \frac{a}{b^2 + ab} — \frac{1}{a + b} \right) =$ $= (\frac{b^{2}}{a (a^{2} - b^{2})} - \frac{b}{a (a - b)}) \cdot (\frac{a}{b (b + a)} - \frac{1}{b + a}) =$

$= \left( \frac{b^2}{a(a^2 — b^2)} — \frac{b}{a(a — b)} \right) \cdot \left( \frac{a}{b(b + a)} — \frac{1}{b + a} \right) =$ $= \frac{b^{2} - b (a + b)}{a (a^{2} - b^{2})} \cdot \frac{a - b}{b (b + a)} = \frac{b^{2} - a b - b^{2}}{a (a^{2} - b^{2})} \cdot \frac{a - b}{b (a + b)} =$

$= \frac{b^2 — b(a + b)}{a(a^2 — b^2)} \cdot \frac{a — b}{b(b + a)} = \frac{b^2 — ab — b^2}{a(a^2 — b^2)} \cdot \frac{a — b}{b(a + b)} =$ $= \frac{-ab \cdot (a — b)}{a(a — b)(a + b) \cdot b(a + b)} = \frac{-1}{(a + b)^2} \quad \text{отрицательно, при всех допустимых значениях переменных.}$

б)

$\frac{x^{3} - y^{3}}{2 x + 2 y} \cdot \frac{(x + y)^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}} : (\frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y}) =$

$\frac{x^3 — y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left( \frac{x + y}{x — y} + \frac{x — y}{x + y} \right) =$ $= \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{2 (x + y)} \cdot \frac{(x + y)^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}} : \frac{(x + y)^{2} + (x - y)^{2}}{(x - y) (x + y)} =$

$= \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{2(x + y)} \cdot \frac{(x + y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \frac{(x + y)^2 + (x — y)^2}{(x — y)(x + y)} =$ $= \frac{(x - y) (x + y)}{2} \cdot \frac{(x - y) (x + y)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}} =$

$= \frac{(x — y)(x + y)}{2} \cdot \frac{(x — y)(x + y)}{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — 2xy + y^2} =$ $= \frac{(x — y)(x + y) \cdot (x — y)(x + y)}{2 \cdot (2x^2 + 2y^2)} = \frac{(x^2 — y^2)^2}{4(x^2 + y^2)} \quad \text{неотрицательно, при всех допустимых значениях переменных.}$

Подробный ответ:

а)
Рассмотрим выражение:

$(\frac{b^{2}}{a^{3} - a b^{2}} - \frac{b}{a^{2} - a b}) \cdot (\frac{a}{b^{2} + a b} - \frac{1}{b + a})$

1. Разложим знаменатели:
В первом слагаемом левой части:

$a^{3} - a b^{2} = a (a^{2} - b^{2})$

Во втором слагаемом левой части:

$a^{2} - a b = a (a - b)$

В первой дроби правой части:

$b^{2} + a b = b (b + a)$

Вторая дробь правой части: знаменатель $b + a$ — уже упрощён.

Подставим:

$(\frac{b^{2}}{a (a^{2} - b^{2})} - \frac{b}{a (a - b)}) \cdot (\frac{a}{b (b + a)} - \frac{1}{b + a})$

2. Приведём левую часть к общему знаменателю:
Общий знаменатель:

$a (a^{2} - b^{2}) = a (a - b) (a + b)$

Первая дробь уже с этим знаменателем. Вторую умножим на $\frac{a + b}{a + b}$ , чтобы получить общий знаменатель:

$\frac{b^{2}}{a (a^{2} - b^{2})} - \frac{b (a + b)}{a (a - b) (a + b)} = \frac{b^{2} - b (a + b)}{a (a^{2} - b^{2})}$

3. Упростим числитель:

$b^{2} - b (a + b) = b^{2} - a b - b^{2} = - a b$

Значит, левая часть в скобках равна:

$\frac{- a b}{a (a^{2} - b^{2})}$

4. Упростим правую часть в скобках:
Приведём к общему знаменателю:

$\frac{a}{b (b + a)} - \frac{1}{b + a} = \frac{a}{b (b + a)} - \frac{b}{b (b + a)} = \frac{a - b}{b (b + a)}$

5. Подставим обратно и получим:

$\frac{- a b}{a (a^{2} - b^{2})} \cdot \frac{a - b}{b (b + a)}$

6. Упростим:
Вынесем знаменатель $a^{2} - b^{2}$ как произведение:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Подставим:

$\frac{- a b}{a (a - b) (a + b)} \cdot \frac{a - b}{b (a + b)}$

7. Сократим общие множители:

$a$ в числителе и знаменателе
$b$ в числителе и знаменателе
$a - b$ в числителе и знаменателе
$a + b$ в числителе и знаменателе (один из них во второй дроби)

В итоге останется:

$\frac{- 1}{(a + b)^{2}}$

Итог:

$\frac{- 1}{(a + b)^{2}} (отрицательно при всех допустимых значениях переменных)$

б)
Рассмотрим выражение:

$\frac{x^{3} - y^{3}}{2 x + 2 y} \cdot \frac{(x + y)^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}} : (\frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y})$

1. Разложим числитель первой дроби:

$x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

Знаменатель:

$2 x + 2 y = 2 (x + y)$

Подставим:

$\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{2 (x + y)} \cdot \frac{(x + y)^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}} : (\frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y})$

2. Упростим произведение первых двух дробей:
Числитель и знаменатель $x^{2} + x y + y^{2}$ сокращаются:

$\frac{(x - y)}{2 (x + y)} \cdot (x + y)^{2} = \frac{(x - y) (x + y)^{2}}{2 (x + y)} = \frac{(x - y) (x + y)}{2} (x + y)$

Формально:

$\frac{(x - y) (x + y)^{2}}{2 (x + y)} = \frac{(x - y) (x + y)}{2} \cdot (x + y)$

Но фактически, $\frac{(x + y)^{2}}{(x + y)} = (x + y)$ .

3. Рассмотрим сумму в скобках:

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y} = \frac{(x + y)^{2} + (x - y)^{2}}{(x - y) (x + y)}$

Вычислим числитель:

$(x + y)^{2} + (x - y)^{2} = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 2 x^{2} + 2 y^{2} = 2 (x^{2} + y^{2})$

4. Значит, выражение в скобках равно:

$\frac{2 (x^{2} + y^{2})}{(x - y) (x + y)}$

5. Теперь поделим на эту дробь:

Деление — это умножение на обратную дробь:

$\frac{(x - y) (x + y)^{2}}{2 (x + y)} \cdot \frac{(x - y) (x + y)}{2 (x^{2} + y^{2})} = \frac{(x - y) (x + y)^{3}}{2 (x + y) \cdot 2 (x^{2} + y^{2})} = \frac{(x - y) (x + y)^{3}}{4 (x + y) (x^{2} + y^{2})}$

6. Сократим $x + y$ :

$\frac{(x - y) (x + y)^{2}}{4 (x^{2} + y^{2})}$

Итог:

$\frac{(x^{2} - y^{2})^{2}}{4 (x^{2} + y^{2})} (неотрицательно при всех допустимых значениях переменных)$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра