ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 102 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных:

а)
$\left( \frac{b^2}{a^3 — ab^2} — \frac{b}{a^2 — ab} \right) \cdot \left( \frac{a}{b^2 + ab} — \frac{1}{a + b} \right)$ отрицательны;

б)
$\frac{x^3 — y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left( \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} \right)$ неотрицательны.

а)

$$(\frac{b^2}{a^3-a{b}^2}-\frac{b}{a^2-ab})\cdot (\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b})=$$

$$$$$$=(\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}-\frac{b}{a(a-b)})\cdot (\frac{a}{b(b+a)}-\frac{1}{b+a})=$$

$$$$$$=\frac{b^2-b(a+b)}{a(a^2-b^2)}\cdot \frac{a-b}{b(b+a)}=\frac{b^2-ab-b^2}{a(a^2-b^2)}\cdot \frac{a-b}{b(a+b)}=$$

$$$$$$=\frac{-ab\cdot (a-b)}{a(a-b)(a+b)\cdot b(a+b)}=\frac{-1}{(a+b{)}^2}$$

$$\text{отрицательно, при всех допустимых значениях переменных.}$$

б)

$$\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot \frac{(x+y{)}^2}{x^2+xy+y^2}:(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y})=$$

$$$$$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{2(x+y)}\cdot \frac{(x+y{)}^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{(x+y{)}^2+(x-y{)}^2}{(x-y)(x+y)}=$$

$$$$$$=\frac{(x-y)(x+y)}{2}\cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}=$$

$$$$$$=\frac{(x-y)(x+y)\cdot (x-y)(x+y)}{2\cdot (2x^2+2y^2)}=\frac{(x^2-y^2{)}^2}{4(x^2+y^2)}$$

$$\text{неотрицательно, при всех допустимых значениях переменных.}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$(\frac{b^2}{a^3-a{b}^2}-\frac{b}{a^2-ab})\cdot (\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{b+a})$$

1. Разложим знаменатели:
В первом слагаемом левой части:

$$a^3-a{b}^2=a(a^2-b^2)$$

Во втором слагаемом левой части:

$$a^2-ab=a(a-b)$$

В первой дроби правой части:

$$b^2+ab=b(b+a)$$

Вторая дробь правой части: знаменатель $b+a$ — уже упрощён.

Подставим:

$$(\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}-\frac{b}{a(a-b)})\cdot (\frac{a}{b(b+a)}-\frac{1}{b+a})$$

2. Приведём левую часть к общему знаменателю:
Общий знаменатель:

$$a(a^2-b^2)=a(a-b)(a+b)$$

Первая дробь уже с этим знаменателем. Вторую умножим на $\frac{a+b}{a+b}$, чтобы получить общий знаменатель:

$$\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}-\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}=\frac{b^2-b(a+b)}{a(a^2-b^2)}$$

3. Упростим числитель:

$$b^2-b(a+b)=b^2-ab-b^2=-ab$$

Значит, левая часть в скобках равна:

$$\frac{-ab}{a(a^2-b^2)}$$

4. Упростим правую часть в скобках:
Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{b(b+a)}-\frac{1}{b+a}=\frac{a}{b(b+a)}-\frac{b}{b(b+a)}=\frac{a-b}{b(b+a)}$$

5. Подставим обратно и получим:

$$\frac{-ab}{a(a^2-b^2)}\cdot \frac{a-b}{b(b+a)}$$

6. Упростим:
Вынесем знаменатель $a^2-b^2$ как произведение:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Подставим:

$$\frac{-ab}{a(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{b(a+b)}$$

7. Сократим общие множители:

• $a$ в числителе и знаменателе
• $b$ в числителе и знаменателе
• $a-b$ в числителе и знаменателе
• $a+b$ в числителе и знаменателе (один из них во второй дроби)

В итоге останется:

$$\frac{-1}{(a+b{)}^2}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{-1}{(a+b{)}^2}}}\text{(отрицательно при всех допустимых значениях переменных)}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot \frac{(x+y{)}^2}{x^2+xy+y^2}:(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y})$$

1. Разложим числитель первой дроби:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

Знаменатель:

$$2x+2y=2(x+y)$$

Подставим:

$$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{2(x+y)}\cdot \frac{(x+y{)}^2}{x^2+xy+y^2}:(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y})$$

2. Упростим произведение первых двух дробей:
Числитель и знаменатель $x^2+xy+y^2$ сокращаются:

$$\frac{(x-y)}{2(x+y)}\cdot (x+y{)}^2=\frac{(x-y)(x+y{)}^2}{2(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y)}{2}(x+y)$$

Формально:

$$\frac{(x-y)(x+y{)}^2}{2(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y)}{2}\cdot (x+y)$$

Но фактически, $\frac{(x+y{)}^2}{(x+y)}=(x+y)$.

3. Рассмотрим сумму в скобках:

$$\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x+y{)}^2+(x-y{)}^2}{(x-y)(x+y)}$$

Вычислим числитель:

$$(x+y{)}^2+(x-y{)}^2=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)$$

4. Значит, выражение в скобках равно:

$$\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)(x+y)}$$

5. Теперь поделим на эту дробь:

Деление — это умножение на обратную дробь:

$$\frac{(x-y)(x+y{)}^2}{2(x+y)}\cdot \frac{(x-y)(x+y)}{2(x^2+y^2)}=\frac{(x-y)(x+y{)}^3}{2(x+y)\cdot 2(x^2+y^2)}=\frac{(x-y)(x+y{)}^3}{4(x+y)(x^2+y^2)}$$

6. Сократим $x+y$:

$$\frac{(x-y)(x+y{)}^2}{4(x^2+y^2)}$$

Итог: