ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 101 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

а) $\frac{16b^2 — a^2}{4b} \cdot \left( \frac{a+4b}{a^2-4ab} — \frac{a-4b}{a^2+4ab} \right)$

б) $\frac{3y}{9y^2-x^2} : \left( \frac{x-3y}{x^2+3xy} + \frac{x+3y}{3xy-x^2} \right)$

а) $\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot (\frac{a+4b}{a(a-4b)}-\frac{a-4b}{a(a+4b)})$

$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{(a+4b{)}^2-(a-4b{)}^2}{a(a-4b)(a+4b)}$

$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)}$

$=\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)}=-4\text{(не зависит от значений переменных)}\mathrm{.}$

б) $\frac{3y}{9y^2-x^2}:(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2})$

$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\left(\frac{(x-3y)(3y-x)+(x+3y)(x+3y)}{x(x+3y)(3y-x)}\right)$

$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{-x^2+6xy-9y^2+x^2+6xy+9y^2}{x(x+3y)(3y-x)}$

$=\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{12xy}{x(9y^2-x^2)}=\frac{3y\cdot x(9y^2-x^2)}{(9y^2-x^2)\cdot 12xy}=\frac{1}{4}\text{(не зависит от значений переменных)}\mathrm{.}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot (\frac{a+4b}{a(a-4b)}-\frac{a-4b}{a(a+4b)})$$

1. Разберём дроби внутри скобок:

$$\frac{a+4b}{a(a-4b)}-\frac{a-4b}{a(a+4b)}$$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю:
Общий знаменатель — произведение $a(a-4b)(a+4b)$.

Первая дробь умножается на $\frac{a+4b}{a+4b}$, вторая — на $\frac{a-4b}{a-4b}$:

$$\frac{(a+4b)(a+4b)}{a(a-4b)(a+4b)}-\frac{(a-4b)(a-4b)}{a(a-4b)(a+4b)}$$

Вычитание теперь:

$$\frac{(a+4b{)}^2-(a-4b{)}^2}{a(a-4b)(a+4b)}$$

2. Применим формулу разности квадратов:

$$(A{)}^2-(B{)}^2=(A-B)(A+B)$$

Здесь:

$$A=a+4b,B=a-4b$$

Тогда:

$$(a+4b{)}^2-(a-4b{)}^2=[(a+4b)-(a-4b)]\cdot [(a+4b)+(a-4b)]$$

Вычислим скобки:

$$(a+4b)-(a-4b)=a+4b-a+4b=8b$$$$(a+4b)+(a-4b)=a+4b+a-4b=2a$$

Перемножаем:

$$8b\cdot 2a=16ab$$

Значит, дробь становится:

$$\frac{16ab}{a(a-4b)(a+4b)}$$

3. Подставим это обратно в исходное выражение:

$$\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a-4b)(a+4b)}$$

4. Упростим знаменатель:
В знаменателе $a(a-4b)(a+4b)$ — замечаем разность квадратов:

$$(a-4b)(a+4b)=a^2-(4b{)}^2=a^2-16b^2$$

Подставим:

$$\frac{16b^2-a^2}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)}$$

5. Заметим, что:

$$16b^2-a^2=-(a^2-16b^2)$$

Заменим в числителе первой дроби:

$$\frac{-(a^2-16b^2)}{4b}\cdot \frac{16ab}{a(a^2-16b^2)}$$

6. Сократим $a^2-16b^2$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-1}{4b}\cdot \frac{16ab}{a}=\frac{-1}{4b}\cdot \frac{16ab}{a}$$

7. Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{-1}{4b}\cdot 16b=\frac{-16b}{4b}=-4$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle -4}}$$

Ответ: выражение равно $-4$ и не зависит от значений переменных (при условии, что знаменатели не равны нулю).

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{3y}{9y^2-x^2}:(\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2})$$

1. Обозначим деление как умножение на обратную дробь:

$$=\frac{3y}{9y^2-x^2}\cdot \frac{1}{\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}}$$

2. Найдём общий знаменатель суммы дробей в скобках:

$$\frac{x-3y}{x^2+3xy}+\frac{x+3y}{3xy-x^2}$$

Обратим внимание на знаменатели:

$$x^2+3xy=x(x+3y)$$$$3xy-x^2=x(3y-x)=-x(x-3y)$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю:
Общий знаменатель:

$$x(x+3y)(3y-x)$$

Первая дробь умножается на $\frac{3y-x}{3y-x}$, вторая — на $\frac{x+3y}{x+3y}$:

$$\frac{(x-3y)(3y-x)}{x(x+3y)(3y-x)}+\frac{(x+3y)(x+3y)}{x(x+3y)(3y-x)}$$

4. Посчитаем числители:
Первая часть:

$$(x-3y)(3y-x)=x\cdot 3y-x\cdot x-3y\cdot 3y+3y\cdot x=$$

$$3xy-x^2-9y^2+3xy=-x^2+6xy-9y^2$$

Второй числитель:

$$(x+3y{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 3y+(3y{)}^2=x^2+6xy+9y^2$$

5. Сложим числители:

$$(-x^2+6xy-9y^2)+(x^2+6xy+9y^2)=$$

$$(-x^2+x^2)+(6xy+6xy)+(-9y^2+9y^2)=0+12xy+0=12xy$$

6. Итоговая дробь в скобках:

$$\frac{12xy}{x(x+3y)(3y-x)}$$

7. Исходное выражение теперь:

$$\frac{3y}{9y^2-x^2}:\frac{12xy}{x(x+3y)(3y-x)}=\frac{3y}{9y^2-x^2}\cdot \frac{x(x+3y)(3y-x)}{12xy}$$

8. Упростим знаменатель:

$$9y^2-x^2=(3y{)}^2-x^2=(3y-x)(3y+x)$$

Подставим:

$$=\frac{3y}{(3y-x)(3y+x)}\cdot \frac{x(x+3y)(3y-x)}{12xy}$$

9. Сократим одинаковые множители:

• $3y-x$ в числителе и знаменателе сокращается.
• $x$ в числителе и знаменателе сокращается.
• $y$ в числителе и знаменателе сокращается.

После сокращения остаётся:

$$\frac{3}{3y+x}\cdot \frac{x+3y}{12}$$

Обратим внимание, что:

$$x+3y=3y+x$$

Так что:

$$\frac{3}{3y+x}\cdot \frac{3y+x}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$$

Ответ: выражение равно $\frac{1}{4}$ и не зависит от значений переменных (при условии, что знаменатели не равны нулю).