ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 100 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Упростите выражение:

а) $\left( m + 3 + \frac{9}{m-3} \right) : \left( \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} \right)$

б) $\left( \frac{n}{1+2n+n^2} — \frac{n}{n+1} \right) : \left( \frac{1}{n+1} + n — 1 \right)$

в) $\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x}{y^2} — \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right)$

г) $\left( 1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} \right) : \left( \frac{1}{v} — \frac{v^2}{u^3} \right)$

Краткий ответ:

а) $(m + 3 + \frac{9}{m - 3}) : (\frac{m}{m - 3} + \frac{3 m}{(3 - m)^{2}})$

$= \frac{(m + 3) (m - 3) + 9}{m - 3} : \frac{m (m - 3) + 3 m}{(m - 3)^{2}}$

$= \frac{m^{2} - 9 + 9}{m - 3} : \frac{m^{2} - 3 m + 3 m}{(m - 3)^{2}}$

$= \frac{m^{2}}{m - 3} : \frac{m^{2}}{(m - 3)^{2}}$

$= \frac{m^{2}}{m - 3} \cdot \frac{(m - 3)^{2}}{m^{2}} = m - 3.$

б) $(\frac{n}{1 + 2 n + n^{2}} - \frac{n}{n + 1}) : (\frac{1}{n + 1} + n - 1)$

$= (\frac{n}{(1 + n)^{2}} - \frac{n}{n + 1}) : (\frac{1 + (n - 1) (n + 1)}{n + 1})$

$= \frac{n - n (n + 1)}{(n + 1)^{2}} : \frac{1 + n^{2} - 1}{n + 1}$

$= \frac{n - n^{2} - n}{(n + 1)^{2}} : \frac{n^{2}}{n + 1}$

$= \frac{- n^{2} - n}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n + 1}{n^{2}} = \frac{- n (n + 1)}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n + 1}{n^{2}} = \frac{- n}{n^{2}} = - \frac{1}{n+1} .$

в) $(x^{3} + 1) : (\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

$= \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{3}} : \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y^{2}}$

$= \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{3}} \cdot \frac{x y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$

$= \frac{x (x + y)}{y} = \frac{x (x + y)}{y} .$

г) $(1 + \frac{v}{u} + \frac{v^{2}}{u^{2}}) : (\frac{1}{v} - \frac{v^{2}}{u^{3}})$

$= \frac{u^{2} + u v + v^{2}}{u^{2}} : \frac{u^{3} - v^{3}}{u^{3} v}$

$= \frac{u^{2} + u v + v^{2}}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3} v}{u^{3} - v^{3}}$

$= \frac{u v (u^{2} + u v + v^{2})}{u^{2} (u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} = \frac{u v}{u - v} .$

Подробный ответ:

а)

$(m + 3 + \frac{9}{m - 3}) : (\frac{m}{m - 3} + \frac{3 m}{(3 - m)^{2}})$

Приводим выражения к общему знаменателю внутри скобок. Обратите внимание, что $(3 - m)^{2} = (m - 3)^{2}$ , так как $(3 - m) = - (m - 3)$ , а квадрат убирает знак.

Выражаем первую часть с общим знаменателем $m - 3$ :

$m + 3 + \frac{9}{m - 3} = \frac{(m + 3) (m - 3)}{m - 3} + \frac{9}{m - 3} = \frac{(m + 3) (m - 3) + 9}{m - 3}$

Во второй части приводим к знаменателю $(m - 3)^{2}$ :

$\frac{m}{m - 3} + \frac{3 m}{(m - 3)^{2}} = \frac{m (m - 3)}{(m - 3)^{2}} + \frac{3 m}{(m - 3)^{2}} = \frac{m (m - 3) + 3 m}{(m - 3)^{2}}$

Записываем исходное выражение через эти дроби:

$\frac{(m + 3) (m - 3) + 9}{m - 3} : \frac{m (m - 3) + 3 m}{(m - 3)^{2}}$

Раскрываем скобки в числителе первой дроби:

$(m + 3) (m - 3) = m^{2} - 9$

Значит:

$\frac{m^{2} - 9 + 9}{m - 3} = \frac{m^{2}}{m - 3}$

Во второй дроби в числителе:

$m (m - 3) + 3 m = m^{2} - 3 m + 3 m = m^{2}$

Значит вторая дробь равна:

$\frac{m^{2}}{(m - 3)^{2}}$

Деление двух дробей — умножение первой на обратную второй:

$\frac{m^{2}}{m - 3} \cdot \frac{(m - 3)^{2}}{m^{2}}$

Сокращаем $m^{2}$ и $m - 3$ :

$= (m - 3)$

б)

$(\frac{n}{1 + 2 n + n^{2}} - \frac{n}{n + 1}) : (\frac{1}{n + 1} + n - 1)$

Замечаем, что $1 + 2 n + n^{2} = (1 + n)^{2}$ .

Первая часть в скобках:

$\frac{n}{(1 + n)^{2}} - \frac{n}{n + 1}$

Приводим к общему знаменателю $(n + 1)^{2}$ :

$\frac{n}{(n + 1)^{2}} - \frac{n (n + 1)}{(n + 1)^{2}} = \frac{n - n (n + 1)}{(n + 1)^{2}} = \frac{n - n^{2} - n}{(n + 1)^{2}} = \frac{- n^{2}}{(n + 1)^{2}}$

Вторая часть в скобках:

$\frac{1}{n + 1} + n - 1 = \frac{1}{n + 1} + \frac{(n - 1) (n + 1)}{n + 1} = \frac{1 + (n - 1) (n + 1)}{n + 1}$

Раскрываем:

$(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$

Значит числитель:

$1 + n^{2} - 1 = n^{2}$

И:

$= \frac{n^{2}}{n + 1}$

Исходное выражение — деление двух дробей:

$\frac{- n^{2}}{(n + 1)^{2}} : \frac{n^{2}}{n + 1} = \frac{- n^{2}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n + 1}{n^{2}}$

Сокращаем $n^{2}$ и $n + 1$ :

$= \frac{- n}{n + 1} \cdot \frac{1}{n} = - \frac{1}{n+1}$

в)

$(x^{3} + 1) : (\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Замечаем, что $x^{3} + 1 = x^{3} + y^{3}$ при $y = 1$ , но здесь явное $y$ .

Представляем $x^{3} + y^{3}$ в разложенном виде:

$x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

Переписываем выражение:

$\frac{x^{3} + y^{3}}{y^{3}} : \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y^{2}}$

Деление дробей — умножение на обратную:

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{3}} \cdot \frac{x y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$

Сокращаем $x^{2} - x y + y^{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x + y)}{y^{3}} \cdot x y^{2} = \frac{x (x + y)}{y}$

г)

$(1 + \frac{v}{u} + \frac{v^{2}}{u^{2}}) : (\frac{1}{v} - \frac{v^{2}}{u^{3}})$

Приводим первое выражение к общему знаменателю $u^{2}$ :

$\frac{u^{2} + u v + v^{2}}{u^{2}}$

Во втором выражении приводим к общему знаменателю $u^{3} v$ :

$\frac{u^{3} - v^{3}}{u^{3} v}$

Деление — умножение первого на обратное второго:

$\frac{u^{2} + u v + v^{2}}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3} v}{u^{3} - v^{3}}$

Разлагаем разность кубов:

$u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + u v + v^{2})$

Сокращаем $u^{2} + u v + v^{2}$ :

$\frac{u^{3} v}{u^{2} (u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} \cdot (u^{2} + u v + v^{2}) = \frac{u v u^{3}}{u^{2} (u - v) u^{3}} = \frac{u v}{u (u - v)} = \frac{v}{u - v}$

Итог:

$\frac{u v}{u - v}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1