ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 100 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (m+3+9/(m-3)) :(m/(m-3)+3m/(3-m)^2 );
б) (n/(1+2n+n^2 )-n/(n+1)) :(1/(n+1)+n-1);
в) (x^3/y^3 +1) :(x/y^2 -1/y+1/x);
г) (1+v/u+v^2/u^2 ) :(1/v-v^2/u^3 ).

а) $(m+3+\frac{9}{m-3}):(\frac{m}{m-3}+\frac{3m}{(3-m{)}^2})$

$=\frac{(m+3)(m-3)+9}{m-3}:\frac{m(m-3)+3m}{(m-3{)}^2}$

$=\frac{m^2-9+9}{m-3}:\frac{m^2-3m+3m}{(m-3{)}^2}$

$=\frac{m^2}{m-3}:\frac{m^2}{(m-3{)}^2}$

$=\frac{m^2}{m-3}\cdot \frac{(m-3{)}^2}{m^2}=m-3.$

б) $(\frac{n}{1+2n+n^2}-\frac{n}{n+1}):(\frac{1}{n+1}+n-1)$

$=(\frac{n}{(1+n{)}^2}-\frac{n}{n+1}):\left(\frac{1+(n-1)(n+1)}{n+1}\right)$

$=\frac{n-n(n+1)}{(n+1{)}^2}:\frac{1+n^2-1}{n+1}$

$=\frac{n-n^2-n}{(n+1{)}^2}:\frac{n^2}{n+1}$

$=\frac{-n^2-n}{(n+1{)}^2}\cdot \frac{n+1}{n^2}=\frac{-n(n+1)}{(n+1{)}^2}\cdot \frac{n+1}{n^2}=\frac{-n}{n^2}=-\frac{1}{\mathrm{n+1}}\mathrm{.}$

в) $(x^3+1):(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$

$=\frac{x^3+y^3}{y^3}:\frac{x^2-xy+y^2}{x{y}^2}$

$=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{x{y}^2}{x^2-xy+y^2}$

$=\frac{x(x+y)}{y}=\frac{x(x+y)}{y}\mathrm{.}$

г) $(1+\frac{v}{u}+\frac{v^2}{u^2}):(\frac{1}{v}-\frac{v^2}{u^3})$

$=\frac{u^2+uv+v^2}{u^2}:\frac{u^3-v^3}{u^{3}v}$

$=\frac{u^2+uv+v^2}{u^2}\cdot \frac{u^{3}v}{u^3-v^3}$

$=\frac{uv(u^2+uv+v^2)}{u^2(u-v)(u^2+uv+v^2)}=\frac{uv}{u-v}\mathrm{.}$

а)

$$(m+3+\frac{9}{m-3}):(\frac{m}{m-3}+\frac{3m}{(3-m{)}^2})$$

Приводим выражения к общему знаменателю внутри скобок. Обратите внимание, что $(3-m{)}^2=(m-3{)}^2$, так как $(3-m)=-(m-3)$, а квадрат убирает знак.

Выражаем первую часть с общим знаменателем $m-3$:

$$m+3+\frac{9}{m-3}=\frac{(m+3)(m-3)}{m-3}+\frac{9}{m-3}=\frac{(m+3)(m-3)+9}{m-3}$$

Во второй части приводим к знаменателю $(m-3{)}^2$:

$$\frac{m}{m-3}+\frac{3m}{(m-3{)}^2}=\frac{m(m-3)}{(m-3{)}^2}+\frac{3m}{(m-3{)}^2}=\frac{m(m-3)+3m}{(m-3{)}^2}$$

Записываем исходное выражение через эти дроби:

$$\frac{(m+3)(m-3)+9}{m-3}:\frac{m(m-3)+3m}{(m-3{)}^2}$$

Раскрываем скобки в числителе первой дроби:

$$(m+3)(m-3)=m^2-9$$

Значит:

$$\frac{m^2-9+9}{m-3}=\frac{m^2}{m-3}$$

Во второй дроби в числителе:

$$m(m-3)+3m=m^2-3m+3m=m^2$$

Значит вторая дробь равна:

$$\frac{m^2}{(m-3{)}^2}$$

Деление двух дробей — умножение первой на обратную второй:

$$\frac{m^2}{m-3}\cdot \frac{(m-3{)}^2}{m^2}$$

Сокращаем $m^2$ и $m-3$:

$$=(m-3)$$

б) 

$$(\frac{n}{1+2n+n^2}-\frac{n}{n+1}):(\frac{1}{n+1}+n-1)$$

Замечаем, что $1+2n+n^2=(1+n{)}^2$.

Первая часть в скобках:

$$\frac{n}{(1+n{)}^2}-\frac{n}{n+1}$$

Приводим к общему знаменателю $(n+1{)}^2$:

$$\frac{n}{(n+1{)}^2}-\frac{n(n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{n-n(n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{n-n^2-n}{(n+1{)}^2}=\frac{-n^2}{(n+1{)}^2}$$

Вторая часть в скобках:

$$\frac{1}{n+1}+n-1=\frac{1}{n+1}+\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}=\frac{1+(n-1)(n+1)}{n+1}$$

Раскрываем:

$$(n-1)(n+1)=n^2-1$$

Значит числитель:

$$1+n^2-1=n^2$$

И:

$$=\frac{n^2}{n+1}$$

Исходное выражение — деление двух дробей:

$$\frac{-n^2}{(n+1{)}^2}:\frac{n^2}{n+1}=\frac{-n^2}{(n+1{)}^2}\cdot \frac{n+1}{n^2}$$

Сокращаем $n^2$ и $n+1$:

$$=\frac{-n}{n+1}\cdot \frac{1}{n}=-\frac{1}{\mathrm{n+1}}$$

в) 

$$(x^3+1):(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$$

Замечаем, что $x^3+1=x^3+y^3$ при $y=1$, но здесь явное $y$.

Представляем $x^3+y^3$ в разложенном виде:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$

Переписываем выражение:

$$\frac{x^3+y^3}{y^3}:\frac{x^2-xy+y^2}{x{y}^2}$$

Деление дробей — умножение на обратную:

$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{x{y}^2}{x^2-xy+y^2}$$

Сокращаем $x^2-xy+y^2$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x+y)}{y^3}\cdot x{y}^2=\frac{x(x+y)}{y}$$

г) 

$$(1+\frac{v}{u}+\frac{v^2}{u^2}):(\frac{1}{v}-\frac{v^2}{u^3})$$

Приводим первое выражение к общему знаменателю $u^2$:

$$\frac{u^2+uv+v^2}{u^2}$$

Во втором выражении приводим к общему знаменателю $u^{3}v$:

$$\frac{u^3-v^3}{u^{3}v}$$

Деление — умножение первого на обратное второго:

$$\frac{u^2+uv+v^2}{u^2}\cdot \frac{u^{3}v}{u^3-v^3}$$

Разлагаем разность кубов:

$$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$$

Сокращаем $u^2+uv+v^2$:

$$\frac{u^{3}v}{u^2(u-v)(u^2+uv+v^2)}\cdot (u^2+uv+v^2)=\frac{uv{u}^3}{u^2(u-v)u^3}=\frac{uv}{u(u-v)}=\frac{v}{u-v}$$

Итог:

$$\frac{uv}{u-v}$$